Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
\sum_{n=1}^{x} \frac{(-1)^{n} x{n}}{n{2}}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série que (vou interpretar como infinita)
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} x^{n}}{n^{2}}.
Informações relevantes que temos:
  • A série é uma série de potências centrada em \,0, com termos da forma a_n x^n onde a_n = \dfrac{(-1)^n}{n^2}.
  • Precisamos determinar o raio R (valor tal que a série converge para |x|<R e diverge para |x|>R) e, dentro da fronteira |x|=R, decidir convergência ou divergência nos pontos finais.
  • Há uma imagem pequena anexada, que parece apenas decorativa; eu não usei nenhuma informação dela porque ela não contém dados relevantes para a série.

Passo 2

Escolha do método para o raio: para séries de potências \sum a_n x^n a fórmula mais direta é usar
R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}.
O que isso significa: a_n são os coeficientes; |a_n|^{1/n} mede a “taxa de decaimento” dos coeficientes; se essa taxa tende a um número L então R=1/L. Essa é uma fórmula padrão (vem do teste da raiz aplicado à série de potências). Vou aplicá-la com a_n = \dfrac{(-1)^n}{n^2}.

Passo 3

Calcular \limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}. Primeiro escrevemos |a_n|:
|a_n| = \left|\frac{(-1)^n}{n^2}\right| = \frac{1}{n^2}.
Agora computamos
|a_n|^{1/n} = \left(\frac{1}{n^2}\right)^{1/n} = n^{-2/n}.
Para avaliar o limite quando n\to\infty podemos usar a propriedade n^{1/n}\to 1 quando n\to\infty. Então
\lim_{n\to\infty} n^{-2/n} = \left(\lim_{n\to\infty} n^{1/n}\right)^{-2} = 1^{-2} = 1.
Portanto \displaystyle \limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}=1.

Passo 4

Aplicando a fórmula do raio:
R = \frac{1}{1} = 1.
Interpretação: a série converge para todos os x com |x|<1 e diverge para todos os x com |x|>1. Agora resta verificar os pontos da fronteira: x=1 e x=-1.

Passo 5

Verificação em x=1. Substituindo x=1 obtemos a série numérica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}.
Para testar convergência absoluta, consideramos a série dos módulos:
\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^n}{n^2}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}.
Essa é uma série p-série com p=2>1, logo converge. Como a série de módulos converge, a série original converge absolutamente em x=1. Portanto x=1 pertence ao intervalo de convergência.

Passo 6

Verificação em x=-1. Substituindo x=-1 obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n(-1)^n}{n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{2n}}{n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}.
Novamente temos a série \sum 1/n^2, que converge (p-série com p=2). Então a série converge (na verdade positivamente e absolutamente) em x=-1. Portanto x=-1 também pertence ao intervalo de convergência.

Passo 7

Conclusão e observação didática: o raio é R=1. Dentro do disco/intervalo |x|<1 a série converge (por teste da raiz/definição de raio). Nos dois pontos da fronteira x=\pm1 a série converge porque os termos têm ordem 1/n^2 e a série \sum 1/n^2 converge. Para comparar, um exemplo parecido mas diferente é \sum (-1)^n x^n/n: também tem R=1, mas em x=1 diverge (harmônica alternada? na verdade \sum (-1)^n/n converge condicionalmente) e em x=-1 converte condicionalmente — isso mostra que comportamento nos extremos pode variar; aqui, por causa do n^2, temos convergência absoluta nos extremos.

Resposta

\text{Raio de convergência}=1ê
\text{Intervalo de convergência}=[-1,1]ê

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