Seja
, em que
e
. Mostre que
Passo 1
O enunciado diz que temos uma função u = f(x,y), mas as variáveis x e y são dadas em termos de (s,t) por x(s,t) = e^s cos t e y(s,t) = e^s sin t. O objetivo é usar a regra da cadeia para mostrar que
. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de x e y em relação a s e t e depois aplicar a regra da cadeia para u_s e u_t.
Passo 2
Primeiro a gente calcula as derivadas parciais de x e y:
Passo 3
Agora aplicamos a regra da cadeia para obter u_s e u_t em termos de u_x e u_y:
Passo 4
Em seguida, somamos os quadrados dessas expressões:
Passo 5
Ao expandir, os termos mistos em u_x u_y se cancelam e sobra:
Passo 6
Como x^2 + y^2 = e^{2s}, concluímos que
Passo 7
e daí isolamos u_x^2 + u_y^2 para chegar na fórmula pedida.