Seja u=f(x, y), em que x(s, t)=e^s cos t e y(s, t)=e^s sin t. Mostre que
(partial upartial x)^2+(partial upartial y)^2=e^-2 s((partial upartial s)^2+(partial upartial t)^2)

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função u = f(x,y), mas as variáveis x e y são dadas em termos de (s,t) por x(s,t) = e^s cos t e y(s,t) = e^s sin t. O objetivo é usar a regra da cadeia para mostrar que ux^2 + uy^2 = e^-2sl(us^2 + ut^2r). Vamos precisar calcular as derivadas parciais de x e y em relação a s e t e depois aplicar a regra da cadeia para u_s e u_t.

Passo 2

Primeiro a gente calcula as derivadas parciais de x e y:
xs = partialpartial s(e^scos t) = e^scos t = x,
xt = partialpartial t(e^scos t) = -e^ssin t = -y,
ys = partialpartial s(e^ssin t) = e^ssin t = y,
yt = partialpartial t(e^ssin t) = e^scos t = x

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia para obter u_s e u_t em termos de u_x e u_y:
us = ux,xs + uy,ys = ux,x + uy,y,
ut = ux,xt + uy,yt = ux(-y) + uy,x

Passo 4

Em seguida, somamos os quadrados dessas expressões:
(us)^2 + (ut)^2 = (ux x + uy y)^2 + (-ux y + uy x)^2

Passo 5

Ao expandir, os termos mistos em u_x u_y se cancelam e sobra:
(us)^2 + (ut)^2 = ux^2(x^2 + y^2) + uy^2(x^2 + y^2) = (ux^2 + uy^2)(x^2 + y^2)

Passo 6

Como x^2 + y^2 = e^{2s}, concluímos que
(us)^2 + (ut)^2 = e^2s(ux^2 + uy^2),

Passo 7

e daí isolamos u_x^2 + u_y^2 para chegar na fórmula pedida.

Resposta

ux^2 + uy^2 = e^-2sl(us^2 + ut^2r).

Exercícios relacionados