Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
Estamos lidando com séries de potências, que envolvem potências de e têm propriedades específicas para determinar onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz para quais valores de a série converge. Para encontrá-lo, geralmente usamos o Teste da Razão ou o Teste da Raiz.
Aqui, vamos usar o Teste da Razão, que é eficiente para séries com termos que envolvem fatoriais ou potências.
Passo 3
O Teste da Razão consiste em calcular o limite:
onde é o termo geral da série. Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos identificar an = (-1)^n x^nn^2 na nossa série:
Agora, vamos calcular o limite L = limn to infty | -x cdot ( nn+1 )^2 | = |x| cdot limn to infty ( nn+1 )^2 = |x| cdot 1 = |x| :
Passo 6
De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que |x| < 1 :
Isso significa que o raio de convergência é 1.
Passo 7
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para sumn=1^infty (-1)^n (1)^nn^2 = sumn=1^infty (-1)^nn^2 . Precisamos verificar o comportamento nos pontos extremos sumn=1^infty (-1)^n (-1)^nn^2 = sumn=1^infty 1n^2 e .
Para :
Esta é uma série alternada que converge pelo Teste da Alternância.
Para :
Esta é a famosa série de -série com , que converge porque .
Resposta
O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .