Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=1^infty (-1)^n x^nn^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrarmos o raio de convergência e o intervalo de convergência da série:
sumn=1^infty (-1)^n x^nn^2
Estamos lidando com séries de potências, que envolvem potências de e têm propriedades específicas para determinar onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o raio de convergência. Ele nos diz para quais valores de a série converge. Para encontrá-lo, geralmente usamos o Teste da Razão ou o Teste da Raiz.
Aqui, vamos usar o Teste da Razão, que é eficiente para séries com termos que envolvem fatoriais ou potências.

Passo 3

O Teste da Razão consiste em calcular o limite:
L = limn to infty | an+1an |
onde é o termo geral da série. Se , a série converge; se , diverge; e se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos identificar an = (-1)^n x^nn^2 na nossa série:
an+1an = (-1)^n+1 x^n+1(n+1)^2 cdot n^2(-1)^n x^n = (-1) x cdot n^2(n+1)^2 = -x cdot ( nn+1 )^2
Agora, vamos calcular :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite L = limn to infty | -x cdot ( nn+1 )^2 | = |x| cdot limn to infty ( nn+1 )^2 = |x| cdot 1 = |x| :

Passo 6

De acordo com o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que |x| < 1 :
Isso significa que o raio de convergência é 1.

Passo 7

Agora, vamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para sumn=1^infty (-1)^n (1)^nn^2 = sumn=1^infty (-1)^nn^2 . Precisamos verificar o comportamento nos pontos extremos sumn=1^infty (-1)^n (-1)^nn^2 = sumn=1^infty 1n^2 e .
  • Para :
Esta é uma série alternada que converge pelo Teste da Alternância.
  • Para :
Esta é a famosa série de -série com , que converge porque .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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