Exercício 8. Aplique o Teorema de Green ao campo
para determinar a área da região delimitada pela curva
.
Dica: use a relação
.
Dica: use a relação
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para aplicar o Teorema de Green no campo vetorial
para encontrar a área da região delimitada pela curva no intervalo
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Green e como ele se relaciona com o cálculo de áreas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Esse teorema estabelece uma relação entre uma integral de linha ao redor de uma curva fechada
e uma integral dupla sobre a região
limitada por
. Matematicamente, ele é expresso como:
No nosso caso, o campo vetorial é
, então
e
.
Passo 3
Aplicando o Teorema de Green com
e
, temos:
A integral dupla
representa exatamente a área da região
.
Passo 4
Agora, precisamos calcular a integral de linha
. A curva
é parametrizada por para
.
Primeiro, vamos encontrar os componentes da derivada
:
Passo 5
O campo vetorial
na parametrização
é:
A integral de linha fica então:
Passo 6
Para resolver essa integral, vamos usar a dica fornecida que envolve a relação trigonométrica:
Aplicando isso com
e
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Agora, vamos integrar termo a termo:
Sabemos que:
Aplicando isso:
Passo 8
Calculando os valores nas extremidades:
Para
:
Para
:
Substituindo:
Resposta
A área da região delimitada pela curva
é 40 unidades de área.