Exercício 8. Aplique o Teorema de Green ao campo F(x, y) = (0, x) para determinar a área da região delimitada pela curva γ(t) = (10 cos(t), 3 sen(2t)), -pi/2 <= t <= pi/2.
Dica: use a relação cos A cos B = (cos(A + B) + cos(A - B)) / 2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para aplicar o Teorema de Green no campo vetorial para encontrar a área da região delimitada pela curva no intervalo .
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Teorema de Green e como ele se relaciona com o cálculo de áreas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o Teorema de Green. Esse teorema estabelece uma relação entre uma integral de linha ao redor de uma curva fechada e uma integral dupla sobre a região limitada por . Matematicamente, ele é expresso como:
No nosso caso, o campo vetorial é , então e .

Passo 3

Aplicando o Teorema de Green com e , temos:
A integral dupla representa exatamente a área da região .

Passo 4

Agora, precisamos calcular a integral de linha . A curva é parametrizada por para .
Primeiro, vamos encontrar os componentes da derivada :

Passo 5

O campo vetorial na parametrização é:
A integral de linha fica então:

Passo 6

Para resolver essa integral, vamos usar a dica fornecida que envolve a relação trigonométrica:
Aplicando isso com e :
Então, a integral fica:

Passo 7

Agora, vamos integrar termo a termo:
Sabemos que:
Aplicando isso:

Passo 8

Calculando os valores nas extremidades:
Para :
Para :
Substituindo:

Resposta

A área da região delimitada pela curva é 40 unidades de área.

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