Exercício 6. Usando o Teorema de Green, transforme a integral de linha integralgamma(x^4-y^3) d x+(x^3+y^5) d y numa integral dupla e calcule-a, onde gamma(t)=(cos (t), sen(t)), com 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável. Para isso, vamos transformar a integral de linha dada em uma integral dupla, o que geralmente facilita bastante a conta. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green e fazer algumas integrações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. A fórmula do Teorema de Green é:
ointgamma P,dx + Q,dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx,dy
Aqui, e são funções de e , é a curva fechada, e é a região limitada por .

Passo 3

No exercício, a integral de linha que a gente precisa calcular é:
integralgamma ( x^4 - y^3 ) dx + ( x^3 + y^5 ) dy
Então, identificando as funções P = x^4 - y^3 e Q = x^3 + y^5 :

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green:
partial Qpartial x = partialpartial x ( x^3 + y^5 ) = 3x^2
partial Ppartial y = partialpartial y ( x^4 - y^3 ) = -3y^2
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 3x^2 - (-3y^2) = 3x^2 + 3y^2 = 3(x^2 + y^2)

Passo 5

Agora, a integral dupla fica:
integral duplaD 3(x^2 + y^2) , dx,dy
Como a curva x = r cos theta é dada por para y = r sen theta , sabemos que dx,dy = r,dr,dtheta é o disco unitário (círculo de raio 1 centrado na origem). Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde:
x^2 + y^2 = r^2
3 integral duplaD r^2 cdot r , dr,dtheta = 3 integral0^2pi integral0^1 r^3 , dr,dtheta
Substituindo na integral dupla:

Passo 6

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a integral0^1 r^3 , dr = [ r^44 ]0^1 = 14 :
3 integral0^2pi 14 , dtheta = 34 integral0^2pi dtheta = 34 cdot 2pi = 32 pi
Agora, substituímos isso na integral externa:

Resposta

O valor da integral de linha é dfrac32 pi.

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