Exercício 6. Usando o Teorema de Green, transforme a integral de linha
numa integral dupla e calcule-a, onde
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. Isso faz parte do estudo de cálculo multivariável. Para isso, vamos transformar a integral de linha dada em uma integral dupla, o que geralmente facilita bastante a conta. Vamos precisar entender como aplicar o Teorema de Green e fazer algumas integrações.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Green. Ele relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a região que essa curva delimita. A fórmula do Teorema de Green é:
Aqui,
e
são funções de
e
,
é a curva fechada, e
é a região limitada por
.
Passo 3
No exercício, a integral de linha que a gente precisa calcular é:
Então, identificando as funções
e
:
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para aplicar o Teorema de Green:
Substituindo na fórmula do Teorema de Green:
Passo 5
Agora, a integral dupla fica:
Como a curva
é dada por para
, sabemos que
é o disco unitário (círculo de raio 1 centrado na origem). Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares, onde:
Substituindo na integral dupla:
Passo 6
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, substituímos isso na integral externa:
Resposta
O valor da integral de linha é
.