Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . O conteúdo envolve séries de potências, teste da razão para determinar o raio e teste em pontos extremos para confirmar o intervalo.
Passo 2
Aplicando o teste da razão, definindo , obtemos:
Passo 3
Para convergência precisa-se de |e x|<1, ou seja R=1/e.
Dessa forma, o raio de convergência é .
Passo 4
Agora testamos os extremos do intervalo: Para x=1/e, a série vira
sumn=2^infty (-1)^n e^n (1/e)^nln n = sumn=2^infty (-1)^nln n
Como 1/ln n é decrescente e tende a zero, a série alternada converge condicionalmente (critério de Leibniz).
Passo 5
Para x=-1/e, a série fica
sumn=2^infty (-1)^n e^n (-1/e)^nln n = sumn=2^infty 1ln n,
que diverge pelo teste da comparação (por exemplo com sum 1/n).
Resposta
Raio de convergência: R = 1/e. Intervalo de convergência: (-1/e, 1/e].