Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=2^infty (-1)^n e^n x^nln n

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série sumn=2^infty (-1)^n e^n x^nln n. O conteúdo envolve séries de potências, teste da razão para determinar o raio e teste em pontos extremos para confirmar o intervalo.

Passo 2

Aplicando o teste da razão, definindo an = (-1)^n e^n x^nln n, obtemos:
limntoinfty |an+1an| = limntoinfty |e x|,ln nln(n+1) = |e x|

Passo 3

Para convergência precisa-se de |e x|<1, ou seja
R=1/e.
Dessa forma, o raio de convergência é .

Passo 4

Agora testamos os extremos do intervalo: Para x=1/e, a série vira
sumn=2^infty (-1)^n e^n (1/e)^nln n = sumn=2^infty (-1)^nln n
Como 1/ln n é decrescente e tende a zero, a série alternada converge condicionalmente (critério de Leibniz).

Passo 5

Para x=-1/e, a série fica
sumn=2^infty (-1)^n e^n (-1/e)^nln n = sumn=2^infty 1ln n,
que diverge pelo teste da comparação (por exemplo com sum 1/n).

Resposta

Raio de convergência: R = 1/e. Intervalo de convergência: (-1/e, 1/e].

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