Calcule, usando a equação de Poisson, o potencial
produzido por:
uma esfera sólida de raio
, com carga volumétrica
constante.
uma esfera sólida de raio
Passo 1
A questão pede o potencial elétrico φ de uma esfera sólida de raio R₀ com densidade volumétrica de carga constante ρ, usando a equação de Poisson. Vamos usar simetria esférica e a matéria de eletrostática: equação de Poisson e condições de contorno em r=0, r→∞ e na superfície r=R₀.
Passo 2
Em simetria esférica φ depende só de r, e a equação de Poisson fica
e fora da carga (r>R₀) temos a equação de Laplace
Passo 3
Para r<R₀, integramos duas vezes:
A_1 e B_1 são constantes a determinar.
Passo 4
Para r>R₀, a solução geral de Laplace é
com A_2 e B_2 constantes.
Passo 5
Impondo condições: finitude em r=0 ⇒ A_1=0; φ→0 em r→∞ ⇒ B_2=0; continuidade de φ e φ’ em r=R₀ leva a
Da primeira vem A_2= -\frac{ρR₀^3}{3ε_0}. Substituindo na segunda, obtemos B_1=\frac{ρR₀^2}{2ε_0}.
Passo 6
Substituindo A_1,A_2,B_1,B_2 nas soluções gerais, chegamos ao resultado final para φ®.