Calcule, usando a equação de Poisson, o potencial phi produzido por:
uma esfera sólida de raio R0, com carga volumétrica rho constante.

Passo 1

A questão pede o potencial elétrico φ de uma esfera sólida de raio R₀ com densidade volumétrica de carga constante ρ, usando a equação de Poisson. Vamos usar simetria esférica e a matéria de eletrostática: equação de Poisson e condições de contorno em r=0, r→∞ e na superfície r=R₀.

Passo 2

Em simetria esférica φ depende só de r, e a equação de Poisson fica
1r^2ddrl(r^2dφdrr)= -ρε0(r
e fora da carga (r>R₀) temos a equação de Laplace
1r^2ddrl(r^2dφdrr)=0

Passo 3

Para r<R₀, integramos duas vezes:
r^2φ'(r)=-ρε0r^33+A1
φ(r)=-ρ6ε0r^2-A1r+B1
A_1 e B_1 são constantes a determinar.

Passo 4

Para r>R₀, a solução geral de Laplace é
φ(r)=A2r+B2
com A_2 e B_2 constantes.

Passo 5

Impondo condições: finitude em r=0 ⇒ A_1=0; φ→0 em r→∞ ⇒ B_2=0; continuidade de φ e φ’ em r=R₀ leva a
-ρ3ε0R₀ = A2R₀^2,
-ρ6ε0R₀^2+B1=A2R₀
Da primeira vem A_2= -\frac{ρR₀^3}{3ε_0}. Substituindo na segunda, obtemos B_1=\frac{ρR₀^2}{2ε_0}.

Passo 6

Substituindo A_1,A_2,B_1,B_2 nas soluções gerais, chegamos ao resultado final para φ®.

Resposta

phi(r)= ρ6ε0l(3R0^2-r^2r), & r<= R0,[6pt] ρR0^33ε0,r, & r>= R0

Exercícios relacionados