Calcule a integral
integral x sin ^2(pi x^2) cos ^5(pi x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral x,sin^2l(pi x^2r),cos^5l(pi x^2r),dx. O conteúdo é integração de funções trigonométricas compostas com potência, e vamos precisar usar substituição (u-substitution) e a identidade sin^2u+cos^2u=1.

Passo 2

Fazemos a substituição u=pi x^2. Então du=2pi x,dx, ou seja, x,dx=dfracdu2pi. Além disso, sin^2(pi x^2)=sin^2u e cos^5(pi x^2)=cos^5u.
A integral passa a ser
integral x,sin^2(pi x^2),cos^5(pi x^2),dx=12piintegralsin^2u,cos^5u,du

Passo 3

Perceba que há potência ímpar de cos. Então separamos um cos u,du para usar t=sin u, e escrevemos cos^4u=(1-sin^2u)^2.
Definimos t=sin u, de modo que dt=cos u,du. A integral interna torna-se
integralsin^2u,cos^5u,du=integral t^2(1-t^2)^2,dt

Passo 4

Expandindo o polinômio:
t^2(1-t^2)^2=t^2-2t^4+t^6
Integramos termo a termo:
integral(t^2-2t^4+t^6),dt=t^33-2t^55+t^77+C

Passo 5

Voltando às variáveis originais, t=sin u=sin(pi x^2) e lembrando do fator 1/(2pi), obtemos a resposta final.

Resposta

12pil(sin^3(pi x^2)3-2,sin^5(pi x^2)5+sin^7(pi x^2)7r)+C

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