Encontre o domínio, represente o domínio no plano e encontre a imagem da seguinte função:
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar o domínio e a imagem da função de duas variáveis
além de representar graficamente o domínio no plano. O conteúdo principal é condição de existência de raiz real (não negativa) e uso de coordenadas polares para visualizar regiões.
Passo 2
Para que
esteja bem definida, o radicando deve ser não negativo. Definindo
precisamos ter
Essa é a condição que determina o domínio em
.
Passo 3
Para entender melhor essa desigualdade, usamos coordenadas polares:
Substituindo em
dá
já que
não altera o sinal.
Passo 4
Agora interpretamos
. Temos dois casos:
-
e , isto é, ângulo no semiplano superior ( ) e raios tais que
2.e , isto é, semiplano inferior ( ) e
Graficamente, o domínio é a união de faixas anelares onde, em cada anel, só está permitido o semicírculo superior ou inferior conforme o sinal de
.
Passo 5
Por fim, para a imagem note que
. Para provar que todo
aparece como valor de
, basta escolher um raio onde
, por exemplo
. Nesse caso
Para obter
, basta tomar
Assim qualquer
é alcançado, e a imagem é
.
Resposta
Domínio:
Em polares,
ou seja, união de anéis onde no semiplano superior (
) mantêm-se os
com
e no semiplano inferior (
) os
com
.
Imagem:
Imagem: