Encontre o domínio, represente o domínio no plano e encontre a imagem da seguinte função:
f(x, y)=raizy cos (raizx^2+y^2).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o domínio e a imagem da função de duas variáveis
f(x,y)=raizy,cosl(raizx^2+y^2r),
além de representar graficamente o domínio no plano. O conteúdo principal é condição de existência de raiz real (não negativa) e uso de coordenadas polares para visualizar regiões.

Passo 2

Para que f(x,y) esteja bem definida, o radicando deve ser não negativo. Definindo
r=raizx^2+y^2,
precisamos ter
y,cos(r)>=0
Essa é a condição que determina o domínio em (x,y).

Passo 3

Para entender melhor essa desigualdade, usamos coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta, r>=0
Substituindo em ycos(r)>=0
rsinthetacdotcos(r)>=0 Long<=ftrightarrow sintheta,cos(r)>=0,
já que r>=0 não altera o sinal.

Passo 4

Agora interpretamos sintheta,cos(r)>=0. Temos dois casos:
  1. cos(r)>=0 e sintheta>=0, isto é, ângulo theta no semiplano superior ( y>=0) e raios r tais que rin[2kpi-tfracpi2,,2kpi+tfracpi2], k=0,1,2,dots
    2. cos(r)<=0 e sintheta<=0, isto é, semiplano inferior ( y<=0) e
    rin[2kpi+tfracpi2,,2kpi+tfrac3pi2], k=0,1,2,dots
Graficamente, o domínio é a união de faixas anelares onde, em cada anel, só está permitido o semicírculo superior ou inferior conforme o sinal de cos(r).

Passo 5

Por fim, para a imagem note que f(x,y)=raizy,cos(r)>=0. Para provar que todo t>=0 aparece como valor de f, basta escolher um raio onde cos(r)=1, por exemplo r=2kpi. Nesse caso
y,cos(r)=rsinthetacdot1=rsintheta
Para obter f=raizrsintheta=t, basta tomar
r=2kpi>= t^2, sintheta=t^2r<=1
Assim qualquer t>=0 é alcançado, e a imagem é [0,infty).

Resposta

Domínio:
D=(x,y)in R^2:;y,cos(raizx^2+y^2)>=0
Em polares,
D=(r,theta):r>=0,;sintheta,cos r>=0,
ou seja, união de anéis onde no semiplano superior ( y>=0) mantêm-se os r com cos r>=0 e no semiplano inferior ( y<=0) os r com cos r<=0.
Imagem:
f(D)=[0,infty)

Exercícios relacionados