Determine a equação da reta tangente em ( ) sendo dados:
e

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta tangente em (x0,f(x0)) para a função f(x)=1sin x+cos x no ponto x0=0. Vamos usar derivadas e a fórmula da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, calculo o valor de f em x0=0:
f(0)=1sin0+cos0=10+1=1

Passo 3

Para achar a inclinação da reta tangente, preciso da derivada f'(x). Defino u(x)=sin x+cos x, então f(x)=1/u(x). Usando a regra da derivada do recíproco:
f'(x) = -u'(x)[u(x)]^2

Passo 4

Calculo u'(x):
u'(x)=cos x-sin x
Logo
f'(x) = -cos x-sin x(sin x+cos x)^2

Passo 5

Agora, avalio f'(x) em x0=0:
f'(0) = -cos0-sin0(sin0+cos0)^2 = -1-01^2 = -1

Passo 6

Com f(0)=1 e f'(0)=-1, a equação da reta tangente em x0=0 é
y - 1 = -1,(x - 0)
Simplificando, temos
y = 1 - x

Resposta

y = 1 - x

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