Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
sumn=1^infty n!x^n1 cdot 3 cdot 5 cdot cdots cdot(2 n-1)

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty n!,x^n1cdot3cdot5cdots(2n-1)
O conteúdo é séries de potências e vamos usar o teste da razão para achar o raio. Também precisaremos de uma fórmula fechada para o produto 1cdot3cdot5cdots(2n-1).

Passo 2

Vamos reescrever o denominador usando uma identidade de fatoriais. Note que
1cdot3cdot5cdots(2n-1) =prodk=1^n(2k-1) =(2n)!2^n,n!
Isso sai porque (2n)!=2^n,n!times(1cdot3cdot5cdots(2n-1)).

Passo 3

Substituindo na série, o coeficiente geral fica
an =n!(2n)!2^nn! =2^n,(n!)^2(2n)!
Assim a série é sumn=1^infty an,x^n com an=2^n,(n!)^2/(2n)!.

Passo 4

Aplicamos o teste da razão:
L =limntoinftyl|an+1,x^,n+1an,x^nr| =|x|, limntoinfty 2^n+1,l((n+1)!r)^2/(2n+2)!2^n,(n!)^2/(2n)! =|x|, limntoinfty 2,(n+1)^2(2n+2)(2n+1)
Simplificando dentro do limite:
2,(n+1)^2(2n+2)(2n+1) =n+12n+1 ;xrightarrow[ntoinfty];12
Logo
L=|x|2

Passo 5

Pela convergência do teste da razão, precisamos de L<1, isto é
|x|2<1 Longrightarrow |x|<2
Portanto o raio de convergência é
R=2

Passo 6

Faltam agora testar os extremos x=2 e x=-2.
  1. Para x=2 o termo geral é
an,2^n =2^n(n!)^2(2n)!,2^n =4^n,(n!)^2(2n)!
Usando que binom2nn=(2n)!/(n!)^2sim4^nraizpi n, temos
4^n,(n!)^2(2n)! =4^nbinom2nn simraizpi n,
que não tende a zero, logo a série diverge em x=2.
2. Para x=-2 o termo geral é (-1)^n vezes o caso anterior, e também não tende a zero. Então diverge em x=-2.

Resposta

Raio de convergência: R=2.
Intervalo de convergência: ,(-2,2).

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