Usando integral de linha, calcule a área da região no primeiro quadrante delimitada pelas curvas
,
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região no primeiro quadrante limitada pelas curvas
Vamos usar o teorema de Green na forma de integral de linha:
onde
é o contorno da região, orientado positivamente (sentido anti-horário).
Passo 2
Primeiro achamos os pontos de interseção:
– As duas retas se encontram em , chamaremos de
.
– Interseção de com
:
– As duas retas se encontram em
– Interseção de
ponto
.
– Interseção de com
:
– Interseção de
ponto
.
Passo 3
Definimos o contorno
de modo anti-horário:
-
: de a pela reta . -
: de a pelo ramo de . -
: de a pela reta .
Passo 4
Nas retas
e
o integrando
se anula:
Para
Para
Passo 5
Só
(o arco da hipérbole) contribui. Parametrizamos
então
e
Logo
Passo 6
Pela fórmula da área:
Resposta
A área da região é
.