Usando integral de linha, calcule a área da região no primeiro quadrante delimitada pelas curvas 4 y=x, y=4 x e x y=4.

Passo 1

O enunciado pede a área da região no primeiro quadrante limitada pelas curvas
y = tfracx4, y = 4x, xy = 4
Vamos usar o teorema de Green na forma de integral de linha:
Área = tfrac12 ointCl(x,dy - y,dxr) Á
onde C é o contorno da região, orientado positivamente (sentido anti-horário).

Passo 2

Primeiro achamos os pontos de interseção:
– As duas retas se encontram em (0,0), chamaremos de O.
– Interseção de y=4x com xy=4:
xcdot(4x)=4implies 4x^2=4implies x=1,;y=4,
ponto A=(1,4).
– Interseção de y=tfracx4 com xy=4:
xcdottfracx4=4implies x^2=16implies x=4,;y=1,
ponto B=(4,1).

Passo 3

Definimos o contorno C de modo anti-horário:
  1. gamma1: de O a B pela reta y=tfracx4.
  2. gamma2: de B a A pelo ramo de xy=4.
  3. gamma3: de A a O pela reta y=4x.

Passo 4

Nas retas gamma1 e gamma3 o integrando x,dy - y,dx se anula:
Para gamma1colon x=t,;y=tfrac t4,;tin[0,4]
dx=dt, dy=tfrac14,dt, x,dy - y,dx = tcdottfrac14,dt - tfrac t4,dt =0
Para gamma3colon x=s,;y=4s,;sin[1,0]
dx=ds, dy=4,ds, x,dy - y,dx = scdot4,ds - 4s,ds =0

Passo 5

gamma2 (o arco da hipérbole) contribui. Parametrizamos
x=tfrac4t, y=t, tin[1,4],
então
dx=-tfrac4t^2,dt, dy=dt
e
x,dy - y,dx = tfrac4t,dt - tl(-tfrac4t^2,dtr) = l(tfrac4t + tfrac4tr)dt = tfrac8t,dt
Logo
ointC(x,dy - y,dx) =integral1^4!tfrac8t,dt =8l[ln tr]1^4 =8ln4

Passo 6

Pela fórmula da área:
Área=tfrac12ointC(x,dy - y,dx) =tfrac12,(8ln4) =4ln4 =8ln2 Á

Resposta

A área da região é 8ln 2.

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