Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício! A gente precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
Essa série é uma série de potências, onde queremos saber para quais valores de a série converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que é uma técnica comum para determinar o raio de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Ele nos ajuda a encontrar o raio de convergência $ R $ da série de potências. A ideia é calcular:
onde $ a_n = (-1)^n n x^n $.
Passo 3
Vamos calcular an+1an:
an+1an = (-1)^n+1 (n+1) x^n+1(-1)^n n x^n = -(n+1)n x
Agora, vamos tirar o valor absoluto:
| an+1an | = n+1n |x| = (1 + 1n) |x|
Passo 4
Agora, calculamos o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty (1 + 1n) |x| = 1 cdot |x| = |x|
Para a série convergir, precisamos que L < 1:
|x| < 1
Passo 5
O raio de convergência $ R $ é o valor de $ |x| $ para o qual a série começa a divergir. Da inequação acima, vemos que:
R
Passo 6
Agora, vamos determinar o intervalo de convergência, ou seja, os valores de x para os quais a série converge. Sabemos que $ |x| < 1 $, então o intervalo é $ (-1, 1) $. Mas precisamos verificar se a série converge nos pontos finais $ x = -1 $ e $ x = 1 $.
Para |x| < 1 :
(-1, 1)
Essa série não converge porque os termos não tendem a zero.
Para x = -1 :
x = 1
Essa série também não converge, pois é uma série harmônica divergente.
Resposta
O raio de convergência é $ R = 1 $ e o intervalo de convergência é $ (-1, 1) $.