Usando o método dos coeficientes indeterminados, resolva as seguintes edos.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO de terceira ordem com coeficientes constantes
y’’‘−3y’’+2y’=10+42 e^{3x}, usando o método dos coeficientes indeterminados.
y’’‘−3y’’+2y’=10+42 e^{3x}, usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Primeiro a gente resolve a equação homogênea associada. A equação característica é
Fatorando, fica
Passo 3
Agora buscamos um particular para o termo constante 10. Como 0 é raiz simples da característica, tentamos
Então
$$y’_{p1}=A,
\quad y’’_{p1}=0,
\quad y’’’_{p1}=0.
y’’’ -3y’’ +2y’ = 2A = 10,$$
vem
. Assim
.
Passo 4
Em seguida tratamos a parte
. Como 3 não é raiz da característica, testamos
Calculando
$$y’_{p2}=3B e^{3x},
;y’’_{p2}=9B e^{3x},
;y’’’_{p2}=27B e^{3x},
y’’’-3y’’+2y’=(27-27+6)B e^{3x}=6B e^{3x}=42 e^{3x},$$
vem
e
. Então
.
Passo 5
Finalmente, a solução geral é a soma da parte homogênea com as.particulares:
Passo 6
Somando tudo, obtemos
Resposta
y(x)=C_{1}+C_{2}e{x}+C_{3}e{2x}+5x+7e^{3x}