Usando o método dos coeficientes indeterminados, resolva as seguintes edos.
y^prime prime prime-3 y^prime prime+2 y^prime=10+42 e^3 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de terceira ordem com coeficientes constantes
y’’‘−3y’’+2y’=10+42 e^{3x}, usando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Primeiro a gente resolve a equação homogênea associada. A equação característica é
r^3 - 3r^2 + 2r = 0
Fatorando, fica r(r-1)(r-2)=0, então as raízes são r=0,1,2. Daí
yh = C1 + C2 e^x + C3 e^2x

Passo 3

Agora buscamos um particular para o termo constante 10. Como 0 é raiz simples da característica, tentamos
yp1 = A x
Então
$$y’_{p1}=A,
\quad y’’_{p1}=0,
\quad y’’’_{p1}=0. y'p1=A, y''p1=0, y'''p1=0y’’’ -3y’’ +2y’ = 2A = 10,$$
vem y''' -3y'' +2y' = 2A = 10,. Assim A=5.

Passo 4

Em seguida tratamos a parte 42e^3x. Como 3 não é raiz da característica, testamos
yp2 = B e^3x
Calculando
$$y’_{p2}=3B e^{3x},
;y’’_{p2}=9B e^{3x},
;y’’’_{p2}=27B e^{3x}, y'p2=3B e^3x, ;y''p2=9B e^3x, ;y'''p2=27B e^3x,y’’’-3y’’+2y’=(27-27+6)B e^{3x}=6B e^{3x}=42 e^{3x},$$
vem y'''-3y''+2y'=(27-27+6)B e^3x=6B e^3x=42 e^3x, e 6B=42. Então B=7.

Passo 5

Finalmente, a solução geral é a soma da parte homogênea com as.particulares:

Passo 6

Somando tudo, obtemos
y(x)=C1 + C2 e^x + C3 e^2x +5x +7e^3x

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e{x}+C_{3}e{2x}+5x+7e^{3x}

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