Usando o método dos coeficientes indeterminados, resolva as seguintes edos.
y^(3)+4 y^prime=3 x-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO y^(3) + 4y' = 3x - 1 usando método dos coeficientes indeterminados. O conteúdo é EDO linear de coeficientes constantes, então vamos achar primeiro a solução geral da homogênea e depois um particular.

Passo 2

Para a homogênea consideramos y^(3) + 4y' = 0 e montamos a equação característica. Em bloco temos:
r^3 + 4r = r(r^2 + 4) = 0
As raízes são r=0, r=2i e r=-2i. Logo a solução homogênea é
yh = C1 + C2,cos(2x) + C3,sin(2x)

Passo 3

Para encontrar um particular yp de um polinômio de grau 1 (pois o lado direito é 3x-1), começamos chutando yp = Ax + B. Mas como B produziria termo constante e já temos solução homogênea constante, multiplicamos por x. Então assumimos:
yp = A x^2 + B x

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = 2A x + B,
yp'' = 2A,
yp^(3) = 0
Substituindo em y^(3) + 4y' = 3x - 1
0 + 4(2A x + B) = 8A x + 4B = 3x - 1
Comparando coeficientes:
8A = 3 implies A = 38,
4B = -1 implies B = -14

Passo 5

Portanto o particular é
yp = 38x^2 - 14x
Somando com a homogênea, obtemos a solução geral:

Resposta

y(x) = C1 + C2cos(2x) + C3sin(2x) + 38x^2 - 14x

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