Nesse exercício a gente tem uma série alternante . O conteúdo principal é o teste de Leibniz (ou teste da série alternante) para verificar convergência, e depois vamos usar o conceito de p-série para analisar convergência absoluta.
Passo 2
Definimos o termo geral positivo . Para aplicar o teste de Leibniz precisamos ver que é decrescente, ou seja, mostrar que . Como , segue que
Também é essencial verificar que tende a zero:
Passo 3
Pelo teste de Leibniz, se é decrescente e , então a série alternante converge. Logo, converge.
Passo 4
Para ver se há convergência absoluta, consideramos
Essa é uma p-série com p=1/2. Como p <= 1, essa p-série diverge. Portanto, a série original não converge absolutamente, apenas condicionalmente.
Resposta
A série converge condicionalmente pelo teste de Leibniz, mas diverge quando tomada em módulo (não converge absolutamente).