Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty (-1)^n-1raizn

Passo 1

Nesse exercício a gente tem uma série alternante sumn=1^infty (-1)^n-1/raizn. O conteúdo principal é o teste de Leibniz (ou teste da série alternante) para verificar convergência, e depois vamos usar o conceito de p-série para analisar convergência absoluta.

Passo 2

Definimos o termo geral positivo an = 1/raizn. Para aplicar o teste de Leibniz precisamos ver que (an) é decrescente, ou seja, mostrar que an+1 < an. Como raizn+1 > raizn, segue que
1raizn+1 < 1raizn
Também é essencial verificar que an tende a zero:
limn to infty 1raizn = 0

Passo 3

Pelo teste de Leibniz, se an é decrescente e lim an = 0, então a série alternante sum (-1)^n-1an converge. Logo, sumn=1^infty (-1)^n-1raizn converge.

Passo 4

Para ver se há convergência absoluta, consideramos
sumn=1^infty gl|(-1)^n-1raizngr| = sumn=1^infty 1raizn
Essa é uma p-série com p=1/2. Como p <= 1, essa p-série diverge. Portanto, a série original não converge absolutamente, apenas condicionalmente.

Resposta

A série converge condicionalmente pelo teste de Leibniz, mas diverge quando tomada em módulo (não converge absolutamente).

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