Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo principal aqui é determinar o raio de convergência usando o Teste da Razão e, em seguida, verificar a convergência nos extremos do intervalo.
Passo 2
Aplicamos o Teste da Razão à sequência de termos
Calculamos
Pelo Teste da Razão, a série converge se L<1, ou seja, lvert xrvert<1. Logo, o raio de convergência é
R = 1
Passo 3
Sabemos que a convergência absoluta ocorre para lvert xrvert<1. Agora analisamos x=1 e x=-1 separadamente.
Quando x=1, a série vira
sumn=0^infty(-1)^n+1,n+1n!,
cujas parcelas em valor absoluto são tfracn+1n!. Como
sumn=0^inftyn+1n! =sumn=0^inftynn!+sumn=0^infty1n! =e + e = 2e<infty,