Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
sumn=0^+infty(-1)^n+1 (n+1) x^nn!

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=0^+infty(-1)^n+1,(n+1),x^nn!
O conteúdo principal aqui é determinar o raio de convergência usando o Teste da Razão e, em seguida, verificar a convergência nos extremos do intervalo.

Passo 2

Aplicamos o Teste da Razão à sequência de termos
an(x)=(-1)^n+1,(n+1),x^nn!
Calculamos
L=limntoinfty|an+1(x)an(x)| =limntoinfty (n+2),l|xr|^,n+1/(n+1)!(n+1),l|xr|^,n/n! =limntoinftyn+2(n+1)^2,l|xr| =l|xr|
Pelo Teste da Razão, a série converge se L<1, ou seja, lvert xrvert<1. Logo, o raio de convergência é
R = 1

Passo 3

Sabemos que a convergência absoluta ocorre para lvert xrvert<1. Agora analisamos x=1 e x=-1 separadamente.
Quando x=1, a série vira
sumn=0^infty(-1)^n+1,n+1n!,
cujas parcelas em valor absoluto são tfracn+1n!. Como
sumn=0^inftyn+1n! =sumn=0^inftynn!+sumn=0^infty1n! =e + e = 2e<infty,
a série converge absolutamente em x=1.

Passo 4

Quando x=-1, a série fica
sumn=0^infty(-1)^n+1,n+1n!,(-1)^n =-sumn=0^inftyn+1n!
Novamente sum(n+1)/n! converge (como vimos acima), logo a série converge em x=-1 também.

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: l[-1,1r].

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