(Engenharia Mecânica e de Materiais)A eficiência estrutural de um componente está relacionada à sua capacidade de suportar cargas em relação ao seu peso. Quando a geometria é otimizada, a distribuição de material permite que o componente seja mais leve e, ao mesmo tempo, tenha maior resistência às tensões. Nestas situações, a sequência de Fibonacci é usada para aumentar o comprimento de cada segmento gradualmente, garantindo que o componente tenha uma forma que distribua melhor as tensões internas, sem aumentar desnecessariamente o volume ou o peso.
Um grupo de pesquisadores está utilizando a sequência de Fibonacci para otimizar a geometria de um componente estrutural. A ideia é distribuir elementos de um componente de maneira que o material suporte melhor a carga, minimizando o peso total.
Suponha que o componente seja formado por 9 segmentos consecutivos, cujo comprimento é determinado pela sequência de Fibonacci. A soma desses comprimentos representa o comprimento total do componente, e a relação entre o comprimento total e o volume do componente influencia diretamente sua eficiência estrutural.
Sabendo que o volume do componente é proporcional ao comprimento total, explique por que o uso da sequência de Fibonacci otimiza a eficiência estrutural do componente, em termos de resistência e distribuição de tensões.

Passo 1

O enunciado fala de um componente formado por 9 segmentos consecutivos, cujos comprimentos seguem a sequência de Fibonacci F1,F2,dots,F9. A soma desses comprimentos
L = sumk=1^9 Fk
é o comprimento total, e o volume V do componente é proporcional a L. Queremos entender por que usar essa sequência torna a eficiência estrutural—isto é, a resistência às tensões dividida pelo peso—ótima.

Passo 2

A sequência de Fibonacci é definida por
F1 = 1, F2 = 1, Fn+1 = Fn + Fn-1
Um fato crucial é que, para n grande, a razão entre dois termos consecutivos tende à razão áurea
phi = 1+raiz52approx1,618
Ou seja,
Fn+1Fnlongrightarrow phi

Passo 3

Como o volume do componente satisfaz
V propto L,
reduzir L (e portanto V e peso) sem sacrificar resistência é o objetivo. A geometria em “passos” de tamanho F1,F2,dots,F9 aumenta gradualmente, sem saltos bruscos que geram concentrações de tensão.

Passo 4

Em engenharia, mudanças súbitas na seção ou no formato levam a picos de tensão (efeito de entalhe). Quando cada segmento é phi vezes maior que o anterior, a transição é suave. Isso distribui as tensões internas de modo mais uniforme, evitando pontos críticos e aumentando a carga crítica que o componente suporta antes de falhar.

Passo 5

Além disso, a progressão geométrica aproximada pela razão áurea entrega uma distribuição de material que maximiza a rigidez (ou momento de inércia) por unidade de volume. Cada seção suporte carga proporcional à sua área efetiva, e o crescimento controlado evita desperdício de material em regiões que não contribuiriam tanto para a resistência.

Resposta

O uso da sequência de Fibonacci faz com que cada segmento seja aproximadamente phi vezes maior que o anterior, promovendo variações graduais na geometria. Esse arranjo suaviza a transição de cargas, distribui as tensões internas de forma mais uniforme e maximiza a rigidez por unidade de peso. Como o volume (e o peso) é proporcional ao comprimento total, temos uma forma que oferece alta resistência sem aumento desnecessário de material, otimizando assim a eficiência estrutural.

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