Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em
:
Vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência e, em seguida, examinar os extremos
através do critério de convergência de séries
.
Passo 2
Seja
Aplicando o teste da razão, calculamos
A série converge se este limite for menor que
1 , ou seja
Logo, o raio de convergência é
Passo 3
Precisamos agora verificar os extremos
x+5=1 e
x+5=-1 .
- Para
(isto é,x+5=1 ), a série torna-sex=-4
que converge pelo critério da série
p com
p=2>1 .
- Para
(isto é,x+5=-1 ), a série ficax=-6
que também converge absolutamente, pois
sum1/n^2 converge.
Portanto ambos os extremos são incluídos.
Resposta
O raio de convergência é
R=1 e o intervalo de convergência é