Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
sumn=1^+infty (x+5)^n-1n^2

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em -5:
sumn=1^infty (x+5)^n-1n^2
Vamos usar o teste da razão para encontrar o raio de convergência e, em seguida, examinar os extremos x=-5pm1 através do critério de convergência de séries p.

Passo 2

Seja
an = (x+5)^n-1n^2
Aplicando o teste da razão, calculamos
limntoinfty|an+1an| = limntoinfty |(x+5)^n(n+1)^2cdotn^2(x+5)^n-1| = |x+5|;limntoinfty(nn+1)^2 = |x+5|
A série converge se este limite for menor que 1, ou seja
|x+5|<1
Logo, o raio de convergência é
R = 1

Passo 3

Precisamos agora verificar os extremos x+5=1 e x+5=-1.
  1. Para x+5=1 (isto é, x=-4), a série torna-se
sumn=1^infty1^,n-1n^2 =sumn=1^infty1n^2,
que converge pelo critério da série p com p=2>1.
  1. Para x+5=-1 (isto é, x=-6), a série fica
sumn=1^infty(-1)^,n-1n^2,
que também converge absolutamente, pois sum1/n^2 converge.
Portanto ambos os extremos são incluídos.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é
[-6,,-4]

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