Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
sumn=1^+infty 1.3 cdot 5 cdots cdot(2 n-1)(2 n-2)! x^n

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
sumn=1^infty 1cdot3cdot5cdots(2n-1)(2n-2)!,x^n
O conteúdo aqui é teste da razão para séries de potências.

Passo 2

Primeiro simplificamos o coeficiente
an=1cdot3cdot5cdots(2n-1)(2n-2)!
Usando a identidade do duplo fatorial
(2n-1)!!=1cdot3cdot5cdots(2n-1)=(2n)!2^n,n!,
segue
an =(2n)!2^n,n!,(2n-2)! =(2n)(2n-1)2^n,n!

Passo 3

Aplicamos o teste da razão, calculando
an+1an =(2(n+1))(2(n+1)-1)2^,n+1(n+1)! (2n)(2n-1)2^n,n! =2(n+1)(2n+1)2^n+1(n+1)!,2^n,n!2n(2n-1)
Simplificando 2^n+1=2cdot2^n e (n+1)!= (n+1),n!, obtemos
an+1an =2(n+1)(2n+1)2,(n+1),2n(2n-1) =2n+12n(2n-1)

Passo 4

No teste da razão consideramos
L =limntoinftygl|an+1an,xgr| =limntoinfty2n+12n(2n-1),|x| =0para todo (xinR)
Como L<1 qualquer que seja x, a série converge para todo x.

Resposta

O raio de convergência é R=infty e o intervalo de convergência é (-infty,infty).

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