Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em
: \r
O conteúdo principal é séries de potências; para o raio usamos o teste da razão, e para os extremos do intervalo, testes de convergência de séries numéricas (série harmônica e série alternante).
Passo 2
Aplicamos o teste da razão à série em valor absoluto. Seja \r
Então\r
\r
O teste da razão diz que a série converge se
. Logo o raio de convergência é \r
Passo 3
Agora verificamos o extremo direito
, ou seja
. A série torna-se
que é a série harmônica alternante. Como
é decrescente e tende a zero, pelo critério de Leibniz ela converge (condicionalmente).
Passo 4
No extremo esquerdo
, ou seja
, a série fica\r
\r
Isso é
vezes a série harmônica, que diverge. Portanto não há convergência em
.
Resposta
Raio de convergência:
. \r
Intervalo de convergência: .
Intervalo de convergência: