Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
sumn=1^+infty(-1)^n+1 (x-1)^nn

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em x=1: \r
sumn=1^infty(-1)^n+1(x-1)^nn \r
O conteúdo principal é séries de potências; para o raio usamos o teste da razão, e para os extremos do intervalo, testes de convergência de séries numéricas (série harmônica e série alternante).

Passo 2

Aplicamos o teste da razão à série em valor absoluto. Seja \r
;an = |x-1|^nn \r
Então\r
\r
O teste da razão diz que a série converge se |x-1|<1. Logo o raio de convergência é \r
;R=1

Passo 3

Agora verificamos o extremo direito x-1=1, ou seja x=2. A série torna-se
sumn=1^infty(-1)^n+11^nn =sumn=1^infty(-1)^n+11n,
que é a série harmônica alternante. Como tfrac1n é decrescente e tende a zero, pelo critério de Leibniz ela converge (condicionalmente).

Passo 4

No extremo esquerdo x-1=-1, ou seja x=0, a série fica\r
\r
Isso é -vezes a série harmônica, que diverge. Portanto não há convergência em x=0.

Resposta

Raio de convergência: R=1. \r
Intervalo de convergência: (0,2].

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