(Difusão e transferência de calor) Problemas de transferência de calor em materiais sólidos podem ser modelados usando a equação da condução de calor, que descreve como a temperatura
varia ao longo do tempo
e do espaço
. Uma solução comum para esta equação envolve a decomposição da função de temperatura em uma série de Fourier.
Considere uma barra metálica de comprimento
, cujas extremidades são mantidas a uma temperatura constante de zero graus
. A condição inicial é que, no tempo
, a temperatura da barra é dada por
, onde
é uma função conhecida. A equação de condução de calor unidimensional que governa o problema é:
onde
é a difusividade térmica do material. A solução geral da equação de condução de calor pode ser expressa como uma série de Fourier na forma:
onde
são coeficientes determinados pela condição inicial
.
Considere que
e
. Qual será a temperatura
no ponto médio da barra
após
?
Considere uma barra metálica de comprimento
onde
onde
Considere que
Passo 1
O enunciado trata da equação unidimensional de condução de calor
numa barra de comprimento
com extremidades mantidas a zero (
) e condição inicial
. A solução por série de Fourier é
once
Queremos
com
cm e
cm
/s.
Passo 2
Avalia-se a série em
cm e
s. Substituindo
e
:
Passo 3
Observe que
Logo só os
ímpares contribuem.
Passo 4
Escrevendo a soma apenas para
:
Passo 5
Como
, o fator exponencial fica
Resposta
com
Sem conhecer
, este é o valor de
em função dos coeficientes de Fourier
.