(Difusão e transferência de calor) Problemas de transferência de calor em materiais sólidos podem ser modelados usando a equação da condução de calor, que descreve como a temperatura T(x, t) varia ao longo do tempo t e do espaço x. Uma solução comum para esta equação envolve a decomposição da função de temperatura em uma série de Fourier.
Considere uma barra metálica de comprimento L, cujas extremidades são mantidas a uma temperatura constante de zero graus (T(0, t)=T(L, t)=0). A condição inicial é que, no tempo t=0, a temperatura da barra é dada por T(x, 0)=f(x), onde f(x) é uma função conhecida. A equação de condução de calor unidimensional que governa o problema é:
partial Tpartial t=alpha partial^2 Tpartial x^2
onde alpha é a difusividade térmica do material. A solução geral da equação de condução de calor pode ser expressa como uma série de Fourier na forma:
T(x, t)=sumn=1^infty Bn e^-alpha(n piL)^2 t sin (n pi xL)
onde Bn são coeficientes determinados pela condição inicial T(x, 0)=f(x).
Considere que L=10 cm e alpha=0.01 cm^2 / s. Qual será a temperatura T(x, t) no ponto médio da barra x=5 cm após t=50 s ?

Passo 1

O enunciado trata da equação unidimensional de condução de calor
partial Tpartial t=alpha,partial^2 Tpartial x^2
numa barra de comprimento L com extremidades mantidas a zero ( T(0,t)=T(L,t)=0) e condição inicial T(x,0)=f(x). A solução por série de Fourier é
T(x,t)=sumn=1^inftyBn,e^-alpha(npiL)^2t,sin!(npi xL),
once
Bn=2Lintegral0^Lf(x),sin!(npi xL),dx
Queremos T(5 cm,50 s) com L=10 cm e alpha=0,01 cm ^2/s.

Passo 2

Avalia-se a série em x=5 cm e t=50 s. Substituindo L=10 e x=5:
T(5,t)=sumn=1^inftyBn,e^-alpha(npi10)^2t,sin!(npi2)

Passo 3

Observe que
sin!l(npi2r)= 0,&n par, (-1)^k,&n=2k+1 (ímpar) í
Logo só os n ímpares contribuem.

Passo 4

Escrevendo a soma apenas para n=2k+1:
T(5,50) =sumk=0^inftyB2k+1,(-1)^k, exp!l[-alphal(tfrac(2k+1)pi10r)^2cdot50r]

Passo 5

Como alphacdot50=0.01times50=0.5, o fator exponencial fica
exp!l[-0.5l(tfrac(2k+1)pi10r)^2r] =exp!l[-(2k+1)^2pi^2200r]

Resposta

T(5,50) =sumk=0^inftyB2k+1,(-1)^k, exp!l[-tfrac(2k+1)^2pi^2200r],
com
Bn=210integral0^10f(x),sin!l(tfracnpi x10r),dx
Sem conhecer f(x), este é o valor de T(5,50) em função dos coeficientes de Fourier Bn.

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