Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
O conteúdo é séries de potências: vamos usar o teste da razão para achar o raio e depois checar o comportamento nos extremos .
Passo 2
Seja
Pelo teste da razão,
Logo, converge se |x|<1 e diverge se |x|>1, dando raio de convergência
R = 1
Passo 3
Para x=1 a série fica
sumn=2^infty(-1)^n+11n(ln n)^2,,
que é alternante com termo geral 1n(ln n)^2 decrescente e tendendo a zero. Pelo teste de Leibniz ela converge. Além disso, como sumn=2^infty1n(ln n)^2
converge (teste da integral ou p-série logarítmica com expoente >1), a convergência em x=1 é absoluta.