Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo.
sumn=2^+infty(-1)^n+1 x^nn(ln n)^2

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
sumn=2^infty(-1)^n+1x^nn(ln n)^2,
O conteúdo é séries de potências: vamos usar o teste da razão para achar o raio e depois checar o comportamento nos extremos x=pm1.

Passo 2

Seja
an = (-1)^n+1x^nn(ln n)^2,
Pelo teste da razão,
limntoinftyl|an+1anr| = limntoinftyl|xnn+1l(ln nln(n+1)r)^2r| = |x|
Logo, converge se |x|<1 e diverge se |x|>1, dando raio de convergência
R = 1

Passo 3

Para x=1 a série fica
sumn=2^infty(-1)^n+11n(ln n)^2,,
que é alternante com termo geral 1n(ln n)^2 decrescente e tendendo a zero. Pelo teste de Leibniz ela converge. Além disso, como
sumn=2^infty1n(ln n)^2
converge (teste da integral ou p-série logarítmica com expoente >1), a convergência em x=1 é absoluta.

Passo 4

Para x=-1 a série vira
sumn=2^infty(-1)^n+1(-1)^nn(ln n)^2 = -sumn=2^infty1n(ln n)^2,,
que é uma série de termos positivos 1n(ln n)^2. Como vimos, esta p-série logarítmica converge, logo há convergência absoluta em x=-1.

Resposta

Raio de convergência: R=1
Intervalo de convergência: [-1,1]

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