Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo: \sum_{n=0}^{\infty} n x^{n};
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} n\,x^{n}.
Aqui o conteúdo é teste da razão para séries de potências e análise dos extremos.
Passo 2
Aplicamos o teste da razão a c_{n}=n\,x^{n}. Calculamos
Pelo teste da razão, a série converge se este limite for menor que 1, ou seja, se |x|<1.
Passo 3
Da condição |x|<1 concluímos que o raio de convergência é
R = 1
e que, pelo teste, a série converge para todo x tal que -1<x<1.
Passo 4
Faltam os extremos:
Para x=1 a série vira \sum n, que diverge porque o termo geral não vai a zero.
Para x=-1 a série vira \sum n(-1)^{n}, cujo termo geral também não tende a zero, logo diverge.
Resposta
Raio de convergência: R=1
Intervalo de convergência: (-1,1)