Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo:
\sum_{n=0}^{\infty} n x^{n};

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} n\,x^{n}.
Aqui o conteúdo é teste da razão para séries de potências e análise dos extremos.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão a c_{n}=n\,x^{n}. Calculamos
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{c_{n+1}}{c_{n}}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\,|x| =|x|.
Pelo teste da razão, a série converge se este limite for menor que 1, ou seja, se |x|<1.

Passo 3

Da condição |x|<1 concluímos que o raio de convergência é
R = 1
e que, pelo teste, a série converge para todo x tal que -1<x<1.

Passo 4

Faltam os extremos:
Para x=1 a série vira \sum n, que diverge porque o termo geral não vai a zero.
Para x=-1 a série vira \sum n(-1)^{n}, cujo termo geral também não tende a zero, logo diverge.

Resposta

Raio de convergência: R=1
Intervalo de convergência: (-1,1)

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