Encontre uma representação em série de potências para cada função abaixo e determine, se possível, o raio de convergência e o intervalo de convergência. f(x)=\operatorname{arctg}(2 x);
Passo 1
O enunciado pede uma série de potências (Maclaurin) para a função \arctan(2x) e, em seguida, que a gente determine o raio de convergência e o intervalo em que essa série converge.
Passo 2
Lembramos que a expansão de Maclaurin de \arctan z é válida para \lvert z\rvert\le1 e dada por
\arctan z = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{2n+1}.
Exige-se 4\,x^2<1, logo \lvert x\rvert<\tfrac12. Assim R=\tfrac12.
Passo 5
Verificamos a convergência nos extremos x=\pm\tfrac12.
Para x=\tfrac12, o termo geral vira \displaystyle(-1)^n/(2n+1), que converge (série alternante) a \arctan(1)=\pi/4.
Para x=-\tfrac12, o termo geral é \displaystyle-(-1)^n/(2n+1), também alternante e converge a \arctan(-1)=-\pi/4.
Logo o intervalo de convergência é \bigl[-\tfrac12,\tfrac12\bigr].