Encontre uma representação em série de potências para cada função abaixo e determine, se possível, o raio de convergência e o intervalo de convergência.
f(x)=\operatorname{arctg}(2 x);

Passo 1

O enunciado pede uma série de potências (Maclaurin) para a função \arctan(2x) e, em seguida, que a gente determine o raio de convergência e o intervalo em que essa série converge.

Passo 2

Lembramos que a expansão de Maclaurin de \arctan z é válida para \lvert z\rvert\le1 e dada por
\arctan z = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{z^{2n+1}}{2n+1}.

Passo 3

Basta fazer z=2x. Assim obtemos
\arctan(2x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{(2x)^{2n+1}}{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{2^{2n+1}\,x^{2n+1}}{2n+1}.

Passo 4

Para achar o raio de convergência R, aplicamos o critério da razão a
\displaystyle a_n = (-1)^n\frac{2^{2n+1}x^{2n+1}}{2n+1}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty} \left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \frac{2^{2(n+1)+1}\lvert x\rvert^{2(n+1)+1}/(2n+3)} {2^{2n+1}\lvert x\rvert^{2n+1}/(2n+1)} = 4\,x^2.
Exige-se 4\,x^2<1, logo \lvert x\rvert<\tfrac12. Assim R=\tfrac12.

Passo 5

Verificamos a convergência nos extremos x=\pm\tfrac12.
Para x=\tfrac12, o termo geral vira \displaystyle(-1)^n/(2n+1), que converge (série alternante) a \arctan(1)=\pi/4.
Para x=-\tfrac12, o termo geral é \displaystyle-(-1)^n/(2n+1), também alternante e converge a \arctan(-1)=-\pi/4.
Logo o intervalo de convergência é \bigl[-\tfrac12,\tfrac12\bigr].

Resposta

\arctan(2x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{2^{2n+1}\,x^{2n+1}}{2n+1}, \quad R = \tfrac12, \quad x\in\bigl[-\tfrac12,\tfrac12\bigr].

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