Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries abaixo:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+1)^{n}}{n(n+1)};

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências centrada em x_{0}=-1:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x+1)^{n}}{n(n+1)}.
O conteúdo principal aqui é encontrar o raio usando o teste da razão e depois verificar a convergência nos pontos extremos.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão à soma em y=x+1:
a_{n}(y)=\frac{y^{n}}{n(n+1)},
então
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}(y)}{a_{n}(y)}\right| =\lim_{n\to\infty}\frac{|y|^{n+1}}{(n+1)(n+2)}\cdot\frac{n(n+1)}{|y|^{n}} =|y|\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+2}=|y|.
O teste da razão diz que converge se |y|<1. Portanto o raio de convergência é
R=1 \quad\Longrightarrow\quad |x+1|<1 \quad\Longrightarrow\quad -2<x<0.

Passo 3

Verificamos x=0 (ou seja y=1). A série torna-se
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1^{n}}{n(n+1)} =\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\Bigr),
que é telescópica. Somando até N temos
\sum_{n=1}^{N}\Bigl(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\Bigr) =1-\frac{1}{N+1}\xrightarrow[N\to\infty]{}1,
logo a série converge em x=0.

Passo 4

Verificamos x=-2 (ou seja y=-1). A série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n(n+1)}.
Como b_{n}=1/(n(n+1)) é decrescente para n\ge1 e tende a zero, pelo critério de Leibniz a série alternada converge. Na verdade, \sum b_{n} também converge (é telescópica), então há convergência absoluta em x=-2.

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: \bigl[-2,0\bigr].

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