Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries adiante:
Passo 1
O enunciado dá a série de potências
e pede duas coisas: o raio de convergência e o intervalo de convergência (i.e., os valores de
para os quais a série converge). As informações relevantes são: o centro da série é
(pois aparece
) e os coeficientes são
.
Passo 2
Vou usar o teste da raiz (ou a fórmula geral para séries de potências) para achar o raio
. Para uma série de potências
o raio de convergência é dado por
Aqui
. Explico:
mede, em termos de raiz
-ésima, a taxa de decaimento dos coeficientes; inverter essa quantidade dá a distância máxima
para a qual a série ainda pode convergir.
Passo 3
Calculo
. Como
,
Agora precisamos do limite
quando
. Uma maneira padrão de ver isso é tomar logaritmo:
Como
quando
, segue que
e, portanto,
. Logo
Passo 4
Aplicando a fórmula do raio,
Isto significa que a série converge para
, ou seja, no intervalo centrado em
de raio
:
Esse é o intervalo aberto onde a convergência é garantida pela raiz.
Passo 5
Agora é preciso testar os pontos finais
e
separadamente, porque o teste da raiz só dá o raio e não diz o que acontece exatamente nas fronteiras.
Passo 6
Teste em
: aqui
. O termo geral da série fica
Como os termos não tendem a zero (na verdade tendem a infinito), a série
diverge imediatamente. Logo a série diverge em
.
Passo 7
Teste em
: aqui
. O termo geral é
Novamente os termos não tendem a zero em módulo (têm módulo
), então a série não pode convergir (uma condição necessária para convergência é que os termos do somatório vão a zero). Portanto a série diverge em
.
Passo 8
Conclusão: o raio de convergência é
e o intervalo de convergência é o intervalo aberto
, com ambos os extremos excluídos porque em
e
a série diverge.
Resposta
Raio de convergência:
Intervalo de convergência:
Intervalo de convergência: