Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries adiante:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(x-5)^{n}}{7^{n}}

Passo 1

O enunciado dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(x-5)^{n}}{7^{n}}
e pede duas coisas: o raio de convergência e o intervalo de convergência (i.e., os valores de x para os quais a série converge). As informações relevantes são: o centro da série é 5 (pois aparece (x-5)^n) e os coeficientes são a_n=\dfrac{n}{7^n}.

Passo 2

Vou usar o teste da raiz (ou a fórmula geral para séries de potências) para achar o raio R. Para uma série de potências \sum a_n (x-c)^n o raio de convergência é dado por
R=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}.
Aqui a_n=\dfrac{n}{7^n}. Explico: \limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n} mede, em termos de raiz n-ésima, a taxa de decaimento dos coeficientes; inverter essa quantidade dá a distância máxima |x-c| para a qual a série ainda pode convergir.

Passo 3

Calculo \limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}. Como a_n=\dfrac{n}{7^n},
|a_n|^{1/n}=\left(\frac{n}{7^n}\right)^{1/n}=\frac{n^{1/n}}{7}.
Agora precisamos do limite n^{1/n} quando n\to\infty. Uma maneira padrão de ver isso é tomar logaritmo:
\ln(n^{1/n})=\frac{\ln n}{n}.
Como \ln n / n \to 0 quando n\to\infty, segue que \ln(n^{1/n})\to 0 e, portanto, n^{1/n}\to 1. Logo
\lim_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}=\frac{1}{7}.

Passo 4

Aplicando a fórmula do raio,
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}|a_n|^{1/n}}=\frac{1}{1/7}=7.
Isto significa que a série converge para |x-5|<7, ou seja, no intervalo centrado em 5 de raio 7:
5-7<x<5+7 \quad\Longrightarrow\quad -2<x<12.
Esse é o intervalo aberto onde a convergência é garantida pela raiz.

Passo 5

Agora é preciso testar os pontos finais x=-2 e x=12 separadamente, porque o teste da raiz só dá o raio e não diz o que acontece exatamente nas fronteiras.

Passo 6

Teste em x=12: aqui (x-5)=7. O termo geral da série fica
\frac{n(12-5)^n}{7^n}=\frac{n\cdot 7^n}{7^n}=n.
Como os termos não tendem a zero (na verdade tendem a infinito), a série \sum n diverge imediatamente. Logo a série diverge em x=12.

Passo 7

Teste em x=-2: aqui (x-5)=-7. O termo geral é
\frac{n(-7)^n}{7^n}=n(-1)^n.
Novamente os termos não tendem a zero em módulo (têm módulo n), então a série não pode convergir (uma condição necessária para convergência é que os termos do somatório vão a zero). Portanto a série diverge em x=-2.

Passo 8

Conclusão: o raio de convergência é 7 e o intervalo de convergência é o intervalo aberto (-2,\,12), com ambos os extremos excluídos porque em x=-2 e x=12 a série diverge.

Resposta

Raio de convergência: 7
Intervalo de convergência: (-2,\,12)

Exercícios relacionados