Encontre o raio de convergência da série
d) sumn=0^infty (-1)^n x^n+1raizn+3

Passo 1

A série dada é sumn=0^infty (-1)^nx^n+1raizn+3. O que queremos é o raio de convergência dessa série de potências. Vamos usar o teste da raiz para descobrir para quais valores de x ela converge.

Passo 2

O teste da raiz (ou de Cauchy–Hadamard) diz que, para uma série de potências sum ak x^k, o raio de convergência R é dado por
1R=limsupktoinftyraiz[k]|ak|
No nosso caso, a série está em potências de x^n+1, mas isso não altera o raio. Podemos redefinir o índice, ou simplesmente aplicar o teste observando os coeficientes
an+1=(-1)^nraizn+3, n>=0

Passo 3

Precisamos então calcular
L=limsupntoinftyraiz[n+1]l|(-1)^nraizn+3r| =limntoinftyraiz[n+1]1raizn+3
Como raiz[n+1]raizn+3=(raizn+3)^1/(n+1)=expl(tfracln(raizn+3)n+1r) e ln(raizn+3)/(n+1)to0, segue que
limntoinftyraiz[n+1]1raizn+3=11=1

Passo 4

Como L=1, o teste da raiz nos dá
1R=1 Longrightarrow R=1

Resposta

1

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