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. Faça o mapa de contorno dessa função apesentando algumas curvas de nível.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente fazer o mapa de contorno da função $ f(x, y) = x^{2} - y $. Isso significa que vamos desenhar algumas curvas de nível dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas são formadas a partir da função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Curvas de nível são linhas que representam todos os pontos
onde a função $ f(x, y) $ tem o mesmo valor constante. Ou seja, para um valor constante $ c $, a curva de nível é a coleção de pontos que satisfazem a equação $ f(x, y) = c $.
Passo 3
Aplicando isso à nossa função $ f(x, y) = x^{2} - y $, vamos definir $ f(x, y) = c $. Então:
Vamos isolar $ y $:
Passo 4
A equação $ y = x^{2} - c $ nos mostra que para cada valor de $ c $, temos uma parábola que abre para cima, deslocada para baixo ou para cima dependendo do valor de $ c $. Essas parábolas são as nossas curvas de nível.
Passo 5
Vamos escolher alguns valores para $ c $ e desenhar as respectivas curvas de nível:
-
Para $ c = -2 $:Essa parábola está deslocada 2 unidades para cima.
-
Para $ c = 0 $:Essa é a parábola padrão.
-
Para $ c = 2 $:Essa parábola está deslocada 2 unidades para baixo.
Passo 6
No mapa de contorno, essas curvas de nível serão representadas como parábolas paralelas, cada uma correspondendo a um valor específico de $ c $. Quanto maior o valor de $ c $, mais a parábola estará deslocada para baixo, e vice-versa.
Resposta
O mapa de contorno da função $ f(x, y) = x^{2} - y $ consiste em várias parábolas $ y = x^{2} - c $ para diferentes valores de $ c $. Por exemplo:
- Para $ c = -2 $: $ y = x^{2} + 2 $
- Para $ c = 0 $: $ y = x^{2} $
- Para $ c = 2 $: $ y = x^{2} - 2 $
Essas curvas de nível são parábolas paralelas que se deslocam verticalmente conforme o valor de $ c $.