(1,5 pts) Seja f(x, y)=x^2-y. Faça o mapa de contorno dessa função apesentando algumas curvas de nível.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente fazer o mapa de contorno da função $ f(x, y) = x^{2} - y $. Isso significa que vamos desenhar algumas curvas de nível dessa função. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como elas são formadas a partir da função dada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Curvas de nível são linhas que representam todos os pontos (x, y) onde a função $ f(x, y) $ tem o mesmo valor constante. Ou seja, para um valor constante $ c $, a curva de nível é a coleção de pontos que satisfazem a equação $ f(x, y) = c $.

Passo 3

Aplicando isso à nossa função $ f(x, y) = x^{2} - y $, vamos definir $ f(x, y) = c $. Então:
f(x, y) = x^2 - y
Vamos isolar $ y $:
f(x, y) = c

Passo 4

A equação $ y = x^{2} - c $ nos mostra que para cada valor de $ c $, temos uma parábola que abre para cima, deslocada para baixo ou para cima dependendo do valor de $ c $. Essas parábolas são as nossas curvas de nível.

Passo 5

Vamos escolher alguns valores para $ c $ e desenhar as respectivas curvas de nível:
  • Para $ c = -2 $:
    c
    Essa parábola está deslocada 2 unidades para cima.
  • Para $ c = 0 $:
    c = -2
    Essa é a parábola padrão.
  • Para $ c = 2 $:
    y = x^2 - (-2) Rightarrow y = x^2 + 2
    Essa parábola está deslocada 2 unidades para baixo.

Passo 6

No mapa de contorno, essas curvas de nível serão representadas como parábolas paralelas, cada uma correspondendo a um valor específico de $ c $. Quanto maior o valor de $ c $, mais a parábola estará deslocada para baixo, e vice-versa.

Resposta

O mapa de contorno da função $ f(x, y) = x^{2} - y $ consiste em várias parábolas $ y = x^{2} - c $ para diferentes valores de $ c $. Por exemplo:
  • Para $ c = -2 $: $ y = x^{2} + 2 $
  • Para $ c = 0 $: $ y = x^{2} $
  • Para $ c = 2 $: $ y = x^{2} - 2 $
Essas curvas de nível são parábolas paralelas que se deslocam verticalmente conforme o valor de $ c $.

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