( 1,5 pts ) Existe o limite da função f(x, y)=2 x^2 yx^4+y^2 quando (x, y) (0,0) ? Justifique!

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = \frac{2x{2}y}{x{4} + y^{2}} $ e queremos saber se o limite dela existe quando f(x, y) = 2x^2yx^4 + y^2 se aproxima de (x, y). Esse tipo de problema está dentro do tema de limites de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar verificar se o limite é o mesmo quando a gente se aproxima do ponto (0,0) por diferentes caminhos.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar alguns caminhos simples para ver se o limite muda. Um caminho comum é manter uma das variáveis constante. Vamos começar com o caminho onde $ y = 0 $.

Passo 3

Substituindo $ y = 0 $ na função:
y = 0
Então, ao se aproximar de f(x, 0) = 2x^2 cdot 0x^4 + 0^2 = 0x^4 = 0 pelo eixo $ x $, o limite é $ 0 $.

Passo 4

Agora, vamos tentar outro caminho diferente para ver se o limite é o mesmo. Vamos escolher $ y = x^{2} $.
Substituindo $ y = x^{2} $ na função:
y = x^2
Então, ao se aproximar de y = x^2 pelo caminho $ y = x^{2} $, o limite é $ 1 $.

Resposta

Como o limite da função $ f(x, y) $ é diferente dependendo do caminho que a gente escolhe para se aproximar de f(x, y) (nesse caso, $ 0 $ pelo eixo $ x $ e $ 1 $ pelo caminho $ y = x^{2} $), concluímos que o limite não existe.

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