( 1,5 pts ) Existe o limite da função
quando
? Justifique!
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função $ f(x, y) = \frac{2x{2}y}{x{4} + y^{2}} $ e queremos saber se o limite dela existe quando
se aproxima de
. Esse tipo de problema está dentro do tema de limites de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar verificar se o limite é o mesmo quando a gente se aproxima do ponto
por diferentes caminhos.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar alguns caminhos simples para ver se o limite muda. Um caminho comum é manter uma das variáveis constante. Vamos começar com o caminho onde $ y = 0 $.
Passo 3
Substituindo $ y = 0 $ na função:
Então, ao se aproximar de
pelo eixo $ x $, o limite é $ 0 $.
Passo 4
Agora, vamos tentar outro caminho diferente para ver se o limite é o mesmo. Vamos escolher $ y = x^{2} $.
Substituindo $ y = x^{2} $ na função:
Então, ao se aproximar de
pelo caminho $ y = x^{2} $, o limite é $ 1 $.
Resposta
Como o limite da função $ f(x, y) $ é diferente dependendo do caminho que a gente escolhe para se aproximar de
(nesse caso, $ 0 $ pelo eixo $ x $ e $ 1 $ pelo caminho $ y = x^{2} $), concluímos que o limite não existe.