Encontre o raio de convergência da série
m) sumn=2^infty x^nn(ln n)^2

Passo 1

Estamos analisando a série de potências a partir de n=2:
R
O conteúdo aqui é o cálculo do raio de convergência de séries de potências. Para isso, vamos usar o teste da raiz (ou razão) para encontrar .

Passo 2

O teste da raiz para séries de potências diz que, se an são os coeficientes da série sum an x^n, então
R = 1limsupntoinfty |an|^1/n

Passo 3

No nosso caso, an = tfrac1n(ln n)^2. Vamos calcular
limsupntoinfty |an|^1/n = limntoinfty gl(1n(ln n)^2gr)^1/n
Como n^1/n to 1 e (ln n)^2/n to 1, temos
limntoinfty l(n(ln n)^2r)^1/n = 1
portanto
limsupntoinfty |an|^1/n = 1

Passo 4

Substituindo no teste da raiz, obtemos
R = 11 = 1

Resposta

R = 1

Exercícios relacionados