Encontre o raio de convergência da série
f) sumn=0^infty (-1)^n(x+2)^nn

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série de potências centrada em x0=-2:
sumn=1^infty (-1)^n (x+2)^nn
Para encontrar o raio de convergência, vamos usar o teste da razão (poderíamos também usar o teste da raiz, que dá o mesmo resultado).

Passo 2

O termo geral da série é
an = (-1)^nn(x+2)^n
Aplicando o teste da razão, calculamos
limntoinfty|an+1an| = limntoinfty|(-1)^n+1n+1(x+2)^n+1 cdot n(-1)^n (x+2)^n|

Passo 3

Dentro do limite simplifica-se:
|an+1an| = |x+2| cdot nn+1 longrightarrow |x+2| (quando ntoinfty)
Para convergir pelo teste da razão precisamos de
|x+2|<1
Isso define o raio de convergência.

Passo 4

A condição |x+2|<1 nos diz que o raio de convergência é
R=1

Resposta

R = 1

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