(b) lim x 0 e^x-e^-xxx

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto0e^x - e^-xxx. Esse conteúdo envolve limites de funções e indeterminações do tipo 0/0. Para resolver, vamos usar a Regra de L’Hôpital, que vale quando temos formas 0/0 ou infty/infty.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar que de fato é uma indeterminação. Substituindo x=0:
e^0 - e^-0 = 1 - 1 = 0,
então o numerador e^x - e^-xx tende a 0/0, e todo o quociente fica 0/0.

Passo 3

Reescrevendo o quociente de forma única, temos
e^x - e^-xxx = e^x - e^-xx^2

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
  • Derivada do numerador e^x - e^-x é e^x + e^-x.
  • Derivada do denominador x^2 é 2x.
    Logo o limite vira
limxto0e^x - e^-xx^2 = limxto0e^x + e^-x2x

Passo 5

Agora, ao avaliar limxto0(e^x + e^-x)/(2x), vemos que o numerador tende a 2 e o denominador tende a 0. Isso não é mais indeterminado: à direita de zero ( xto0^+) o quociente vai para +infty, e à esquerda ( xto0^-) vai para -infty.

Passo 6

Como os limites laterais são diferentes ( +infty e -infty), o limite bilateral não existe e a expressão diverge.

Resposta

O limite não existe, pois diverge para +∞ quando x→0^+ e para –∞ quando x→0^-.

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