Encontre o raio de convergência da série
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Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência da série ∑ⁿ₌₀ √[n]{n} (2x+5)ⁿ. O conteúdo é raio de convergência de série de potências e vamos usar o teste da raiz (Cauchy–Hadamard).
Passo 2
Reescrevemos a série como uma série em z=2x+5: ∑ aₙ zⁿ, onde aₙ=√[n]{n}. Assim o raio R_z será determinado em função de z.
Passo 3
Pelo teste da raiz, o raio de convergência em z é dado por
Passo 4
Calculamos
Como
, segue que R_z=1.
Passo 5
Voltando à variável x, z=2x+5, então a condição de convergência é |2x+5|<1. Isso equivale a |x+5/2|<1/2, ou seja, o raio de convergência em x é R_x=1/2.
Resposta
O raio de convergência em x é R = 1/2 (equivalente a |2x+5|<1).