Encontre o raio de convergência da série
h) sumn=0^infty raiz[n]n(2 x+5)^n

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série ∑ⁿ₌₀ √[n]{n} (2x+5)ⁿ. O conteúdo é raio de convergência de série de potências e vamos usar o teste da raiz (Cauchy–Hadamard).

Passo 2

Reescrevemos a série como uma série em z=2x+5: ∑ aₙ zⁿ, onde aₙ=√[n]{n}. Assim o raio R_z será determinado em função de z.

Passo 3

Pelo teste da raiz, o raio de convergência em z é dado por
Rz = 1limsupntoinfty raiz[n]|an|,, onde aₙ=√[n]{n}.

Passo 4

Calculamos
raiz[n]|an| = raiz[n]n^1/n = n^1/n^2,
Como limntoinfty n^1/n^2 = e^lim (ln n)/n^2 = e^0 = 1, segue que R_z=1.

Passo 5

Voltando à variável x, z=2x+5, então a condição de convergência é |2x+5|<1. Isso equivale a |x+5/2|<1/2, ou seja, o raio de convergência em x é R_x=1/2.

Resposta

O raio de convergência em x é R = 1/2 (equivalente a |2x+5|<1).

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