Encontre o raio de convergência da série de potências.
sumn=0^infty n^nn! x^n

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência da série de potências
sumn=0^infty n^nn!x^n
O conteúdo que vamos usar é o critério da razão (ou o teste da raiz), que permite determinar o intervalo de valores de x para os quais a série converge.

Passo 2

Aplicamos o critério da razão, isto é, a razão entre termos consecutivos:
an+1x^,n+1anx^n =(n+1)^n+1(n+1)!,x^,n+1 n^nn!,x^n =(n+1)^n+1,n!(n+1)!,n^n;x =l(1+tfrac1nr)^n,x

Passo 3

Tomamos o limite quando ntoinfty:
limntoinftyl(1+tfrac1nr)^n,|x| = e,|x|
Pelo critério da razão, a série converge se esse limite for menor que 1, ou seja
e,|x|<1 Longrightarrow |x|<1e
Logo o raio de convergência é
R=1e

Resposta

O raio de convergência é R = tfrac1e.

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