Encontre o raio de convergência das séries:
sumn=0^infty(x-3)^n e^-n

Passo 1

Beleza, o problema pede para a gente encontrar o raio de convergência da série sumn=0^infty(x-3)^n e^-n. Isso faz parte do estudo de séries de potências, que são importantes para entender como funções se comportam perto de um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a descobrir onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é an = (x-3)^n e^-n. O objetivo é aplicar o Teste da Razão, que diz que para a série sum an, se limn to infty | an+1an | = L:
  • Se L < 1, a série converge.
  • Se L > 1, a série diverge.
  • Se L = 1, o teste não dá resposta.

Passo 3

Vamos calcular o limite:
limn to infty | an+1an | = limn to infty | (x-3)^n+1 e^-(n+1)(x-3)^n e^-n |
Simplificando:
= limn to infty | (x-3) e^-1 |
= |x-3| e^-1

Passo 4

Para a série convergir, precisamos que esse limite seja menor que 1:
|x-3| e^-1 < 1
Agora, vamos resolver para |x-3|:
|x-3| < e

Passo 5

O raio de convergência R é o valor que satisfaz essa desigualdade. Portanto:
R = e

Resposta

O raio de convergência da série é R = e.

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