Beleza, o problema pede para a gente encontrar o raio de convergência da série . Isso faz parte do estudo de séries de potências, que são importantes para entender como funções se comportam perto de um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar usar o Teste da Razão, que nos ajuda a descobrir onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é . O objetivo é aplicar o Teste da Razão, que diz que para a série , se :
Se L < 1, a série converge.
Se L > 1, a série diverge.
Se L = 1, o teste não dá resposta.
Passo 3
Vamos calcular o limite:
limn to infty | an+1an | = limn to infty | (x-3)^n+1 e^-(n+1)(x-3)^n e^-n |
Simplificando:
= limn to infty | (x-3) e^-1 |
= |x-3| e^-1
Passo 4
Para a série convergir, precisamos que esse limite seja menor que 1:
|x-3| e^-1 < 1
Agora, vamos resolver para |x-3|:
|x-3| < e
Passo 5
O raio de convergênciaR é o valor que satisfaz essa desigualdade. Portanto: