Nos Problemas 1-22, resolva, se possível, o sistema de equações diferenciais por eliminação sistemática ou por determinantes.
d xd t=-y+t
d yd t=x-t

Passo 1

O sistema dado é dxdt=-y+t e dydt=x-t. Isso é um sistema linear não homogêneo de coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar eliminação, transformando numa EDO de segunda ordem para x(t) e depois encontrar y(t).

Passo 2

Começamos derivando a primeira equação em relação a t:
d^2xdt^2= -dydt + 1
Aqui apareceu y', que substituiremos pela segunda equação.

Passo 3

Substituindo dydt=x-t obtemos:
d^2xdt^2= -(x - t) + 1 = -x + t + 1
Reorganizando, fica

Passo 4

Colocando no formato padrão de uma EDO linear de segunda ordem não homogênea:
d^2xdt^2 + x = t + 1
Para resolver, escrevemos a solução geral como soma da parte homogênea e de uma particular.

Passo 5

A equação homogênea associada é x''+x=0. A equação característica é r^2+1=0, cujas raízes são r=pm i. Logo

Passo 6

xh(t) = C1 cos t + C2 sin t

Passo 7

Para a solução particular, usamos o método dos coeficientes indeterminados. Suponha
xp(t)=a t + b
Como xp''=0, a equação x''+x=t+1 vira
a t + b = t + 1
Igualando coeficientes, temos a=1 e b=1, ou seja

Passo 8

xp(t)=t+1

Passo 9

A solução geral para x(t) é então
x(t)=C1cos t + C2sin t + t + 1

Passo 10

Para achar y(t), retornamos à primeira equação escrita como y = -x' + t. Derivando x(t):
x'(t) = -C1sin t + C2cos t + 1,
logo

Passo 11

y(t) = -l(-C1sin t + C2cos t + 1r) + t = C1sin t - C2cos t + t - 1

Resposta

x(t)=C_1\cos t + C_2\sin t + t + 1,\quad y(t)=C_1\sin t - C_2\cos t + t - 1

Exercícios relacionados