Nos Problemas 1-22, resolva, se possível, o sistema de equações diferenciais por eliminação sistemática ou por determinantes.
Passo 1
O sistema dado é
e
. Isso é um sistema linear não homogêneo de coeficientes constantes. Para resolver, vamos usar eliminação, transformando numa EDO de segunda ordem para
e depois encontrar
.
Passo 2
Começamos derivando a primeira equação em relação a
:
Aqui apareceu
, que substituiremos pela segunda equação.
Passo 3
Substituindo
obtemos:
Reorganizando, fica
Passo 4
Colocando no formato padrão de uma EDO linear de segunda ordem não homogênea:
Para resolver, escrevemos a solução geral como soma da parte homogênea e de uma particular.
Passo 5
A equação homogênea associada é
. A equação característica é
, cujas raízes são
. Logo
Passo 6
Passo 7
Para a solução particular, usamos o método dos coeficientes indeterminados. Suponha
Como
, a equação
vira
Igualando coeficientes, temos
e
, ou seja
Passo 8
Passo 9
A solução geral para
é então
Passo 10
Para achar
, retornamos à primeira equação escrita como
. Derivando
:
logo
Passo 11
Resposta
x(t)=C_1\cos t + C_2\sin t + t + 1,\quad y(t)=C_1\sin t - C_2\cos t + t - 1