Seja f uma função diferenciável em
tâl que
e
. Considere o caminho
dado por
Calcule
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função diferenciável $ f $ no ponto $ (1,1) $ com derivadas parciais $ f_{x}(1,1) = 2 $ e $ f_{y}(1,1) = -1 $. Além disso, temos um caminho definido por $ \gamma(t) = (t + \cos t, 1 + \sin t) $. O objetivo é calcular a derivada da composição $ (f \circ \gamma)’(0) $.
Passo 2
Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia para derivadas de funções compostas. A regra nos diz que, se temos uma função composta $ f \circ \gamma $, sua derivada em relação a $ t $ é dada por:
Isso significa que precisamos das derivadas parciais de $ f $ e das derivadas de $ \gamma(t) $.
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar o ponto onde vamos avaliar a derivada, ou seja, $ \gamma(0) $:
Então, estamos mesmo no ponto $ (1,1) $, onde sabemos que $ f_{x}(1,1) = 2 $ e $ f_{y}(1,1) = -1 $.
Passo 4
Agora, vamos calcular as derivadas de $ \gamma(t) $ em relação a $ t $:
Para a primeira componente de $ \gamma(t) $:
Para a segunda componente de $ \gamma(t) $:
Passo 5
Em seguida, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ t = 0 $:
Passo 6
Agora, aplicando a regra da cadeia que mencionamos no Passo 2:
Substituindo os valores que já sabemos:
Resposta
$ (f \circ \gamma)’(0) = 1 $