Seja f uma função diferenciável em (1,1) tâl que fx(1,1)=2 e fy(1,1)=-1. Considere o caminho gamma dado por
gamma(t)=(t+cos t, 1+sin t)
Calcule (f circ gamma)^prime(0).

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função diferenciável $ f $ no ponto $ (1,1) $ com derivadas parciais $ f_{x}(1,1) = 2 $ e $ f_{y}(1,1) = -1 $. Além disso, temos um caminho definido por $ \gamma(t) = (t + \cos t, 1 + \sin t) $. O objetivo é calcular a derivada da composição $ (f \circ \gamma)’(0) $.

Passo 2

Para resolver isso, vamos usar a Regra da Cadeia para derivadas de funções compostas. A regra nos diz que, se temos uma função composta $ f \circ \gamma $, sua derivada em relação a $ t $ é dada por:
f circ gamma
Isso significa que precisamos das derivadas parciais de $ f $ e das derivadas de $ \gamma(t) $.

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar o ponto onde vamos avaliar a derivada, ou seja, $ \gamma(0) $:
gamma(0)
Então, estamos mesmo no ponto $ (1,1) $, onde sabemos que $ f_{x}(1,1) = 2 $ e $ f_{y}(1,1) = -1 $.

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de $ \gamma(t) $ em relação a $ t $:
Para a primeira componente de $ \gamma(t) $:
gamma(t)
Para a segunda componente de $ \gamma(t) $:
t

Passo 5

Em seguida, vamos avaliar essas derivadas no ponto $ t = 0 $:
t = 0
gammax'(0) = 1 - sin 0 = 1 - 0 = 1

Passo 6

Agora, aplicando a regra da cadeia que mencionamos no Passo 2:
(f circ gamma)'(0) = fx(1,1) cdot gammax'(0) + fy(1,1) cdot gammay'(0)
Substituindo os valores que já sabemos:
(f circ gamma)'(0) = 2 cdot 1 + (-1) cdot 1 = 2 - 1 = 1

Resposta

$ (f \circ \gamma)’(0) = 1 $

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