Questão 4

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  • Teorema de Green é uma grande ferramenta para o cálculo de integrais de linha. Seu resultado permite relacionar uma integral de linha ao longo de um caminho fechado com uma integral dupla sobre a região delimitada por este caminho.
Usando o Teorema de Green, conclui-se que a integral de linha do campo vetorial, \boldsymbol{F}: \mathbb{R}^{\mathbf{2}} \rightarrow \mathbb{R}^{\mathbf{2}}, definido por \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=(\boldsymbol{y},-\boldsymbol{x}), ao longo do caminho fechado definido pelas curvas \boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{I} \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x}) ; \boldsymbol{y}=\mathbf{0} ; \boldsymbol{x}=\mathbf{2}, é igual a
Escolha uma opção:
◯ a. 2 \ln 2-1
◯ b. \ln 2-1
◯ c. 4 \ln 2-2
◯ d. -4 \ln 2+2
◯ e. -2 \ln 2+1

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial \boldsymbol{F}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dado por \boldsymbol{F}(x,y)=(y,-x) e pede a integral de linha de \boldsymbol{F} ao longo do caminho fechado formado pelas curvas
  • y=\ln(x),
  • y=0,
  • x=2.
O que se pede: calcular o valor da integral de linha ao longo desse caminho fechado (assumindo orientação positiva, isto é, no sentido anti-horário).
Pontos importantes dados/inferíveis do enunciado:
  • As curvas y=\ln(x) e y=0 se intersectam em x tal que \ln(x)=0, portanto em x=1, isto é, no ponto (1,0).
  • A curva x=2 intercepta y=0 em (2,0) e intercepta y=\ln(x) em (2,\ln 2).
  • A região R fechada pelo caminho é a região limitada por y=\ln(x) (superior), y=0 (inferior) entre x=1 e x=2, e pela reta vertical x=2 fechando a direita.

Passo 2

Vamos usar a relação que transforma a integral de linha sobre uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região interna à curva (a fórmula será escrita explicitamente abaixo). Para um campo vetorial \boldsymbol{F}=(P(x,y),Q(x,y)) e uma curva fechada positivamente orientada limitando uma região R, vale a igualdade
\oint_{\partial R} P\,dx + Q\,dy = \iint_{R} \left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Aqui:
  • P(x,y) é a primeira componente de \boldsymbol{F},
  • Q(x,y) é a segunda componente de \boldsymbol{F},
  • \partial R é a fronteira orientada positivamente (anti-horário),
  • dA é o elemento de área do plano.
Esta fórmula permite trocar uma integral de linha por uma integral dupla sobre a área, o que costuma facilitar quando a integrandona (o integrando da dupla) é simples.

Passo 3

Identificar P e Q no nosso caso:
P(x,y)=y,\qquad Q(x,y)=-x.
Calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula:
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial (-x)}{\partial x}=-1, \qquad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial (y)}{\partial y}=1.
Portanto o integrando da integral dupla é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} = -1-1 = -2.
Observação: esse integrando é uma função constante na região R, o que simplifica muito o cálculo.

Passo 4

Descrever a região R explicitamente e montar a integral dupla como uma integral simples de área. A região R é:
R=\{(x,y)\mid 1\le x\le 2,\; 0\le y\le \ln(x)\},
porque, para cada x entre 1 e 2, o ponto superior é y=\ln(x) e o inferior é y=0. Os vértices da região são (1,0), (2,0) e (2,\ln 2).

Passo 5

Aplicar a fórmula e reduzir para uma integral de área simples. Como o integrando é -2, temos
\oint_{\partial R} P\,dx + Q\,dy = \iint_{R} (-2)\,dA = -2 \iint_{R} dA = -2\cdot \text{Area}(R).
Agora calculamos a área de R por integração em x com fatias verticais:
\text{Area}(R)=\int_{x=1}^{2} \big(\text{top}(x)-\text{bottom}(x)\big)\,dx = \int_{1}^{2} \big(\ln(x)-0\big)\,dx = \int_{1}^{2} \ln(x)\,dx.

Passo 6

Calcular \displaystyle \int_{1}^{2} \ln(x)\,dx. Usamos integração por partes; seja \,u=\ln(x) e dv=dx. Então du=\dfrac{1}{x}\,dx e v=x. Assim
\int \ln(x)\,dx = x\ln(x)-x + C.
Avaliar entre 1 e 2:
\int_{1}^{2} \ln(x)\,dx = \big(x\ln(x)-x\big)\Big|_{1}^{2} = \big(2\ln 2-2\big) - \big(1\cdot 0 -1\big) = 2\ln 2 -2 +1 = 2\ln 2 -1.
Logo \text{Area}(R)=2\ln 2 -1.

Passo 7

Voltar ao valor da integral de linha:
\oint_{\partial R} P\,dx + Q\,dy = -2\cdot \text{Area}(R) = -2\big(2\ln 2 -1\big) = -4\ln 2 +2.
Esse é o valor da integral de linha supondo orientação positiva da fronteira (anti-horário), que é a hipótese padrão ao aplicar a fórmula usada.

Resposta

d. -4 \ln 2+2

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