Teorema de Green é uma grande ferramenta para o cálculo de integrais de linha. Seu resultado permite relacionar uma integral de linha ao longo de um caminho fechado com uma integral dupla sobre a região delimitada por este caminho.
Usando o Teorema de Green, conclui-se que a integral de linha do campo vetorial, \boldsymbol{F}: \mathbb{R}^{\mathbf{2}} \rightarrow \mathbb{R}^{\mathbf{2}}, definido por \boldsymbol{F}(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y})=(\boldsymbol{y},-\boldsymbol{x}), ao longo do caminho fechado definido pelas curvas \boldsymbol{h}(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{I} \boldsymbol{n}(\boldsymbol{x}) ; \boldsymbol{y}=\mathbf{0} ; \boldsymbol{x}=\mathbf{2}, é igual a
Escolha uma opção:
◯ a. 2 \ln 2-1
◯ b. \ln 2-1
◯ c. 4 \ln 2-2
◯ d. -4 \ln 2+2
◯ e. -2 \ln 2+1
Passo 1
O enunciado fornece o campo vetorial \boldsymbol{F}:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2 dado por \boldsymbol{F}(x,y)=(y,-x) e pede a integral de linha de \boldsymbol{F} ao longo do caminho fechado formado pelas curvas
y=\ln(x),
y=0,
x=2.
O que se pede: calcular o valor da integral de linha ao longo desse caminho fechado (assumindo orientação positiva, isto é, no sentido anti-horário).
Pontos importantes dados/inferíveis do enunciado:
As curvas y=\ln(x) e y=0 se intersectam em x tal que \ln(x)=0, portanto em x=1, isto é, no ponto (1,0).
A curva x=2 intercepta y=0 em (2,0) e intercepta y=\ln(x) em (2,\ln 2).
A região R fechada pelo caminho é a região limitada por y=\ln(x) (superior), y=0 (inferior) entre x=1 e x=2, e pela reta vertical x=2 fechando a direita.
Passo 2
Vamos usar a relação que transforma a integral de linha sobre uma curva fechada em uma integral dupla sobre a região interna à curva (a fórmula será escrita explicitamente abaixo). Para um campo vetorial \boldsymbol{F}=(P(x,y),Q(x,y)) e uma curva fechada positivamente orientada limitando uma região R, vale a igualdade
\partial R é a fronteira orientada positivamente (anti-horário),
dA é o elemento de área do plano.
Esta fórmula permite trocar uma integral de linha por uma integral dupla sobre a área, o que costuma facilitar quando a integrandona (o integrando da dupla) é simples.
Passo 3
Identificar P e Q no nosso caso:
P(x,y)=y,\qquad Q(x,y)=-x.
Calcular as derivadas parciais que aparecem na fórmula: