Encontre o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n}}{n!}:
  • encontrar o raio de convergência;
  • encontrar o intervalo (conjunto de valores reais de x) em que a série converge.
Informações dadas que vamos usar:
  • os coeficientes da série são a_n=\dfrac{1}{n!};
  • a série é centrada em 0 (é uma série em potências de x).

Passo 2

O que significa “raio de convergência”?
Para uma série de potências centrada em 0,
\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,
existe um número R\in[0,\infty] tal que:
  • a série converge absolutamente para todos os x com |x|<R;
  • diverge para todo x com |x|>R.
    Para determinar R podemos usar o Teste da Razão de Cauchy (razão entre termos consecutivos) ou a fórmula de Cauchy–Hadamard
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Aqui vou aplicar o Teste da Razão, que costuma ser o mais direto quando aparecem fatoriais.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão à série original (começando em n=1, mas isso não altera o teste), consideramos o limite
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}x^{\,n+1}}{a_n x^{\,n}}\right| =\lim_{n\to\infty}|x|\cdot\frac{a_{n+1}}{a_n}.
Aqui a_n=\dfrac{1}{n!}, portanto
\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1/(n+1)!}{1/n!}=\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{1}{n+1}.
Substituindo,
L=\lim_{n\to\infty}|x|\cdot\frac{1}{n+1}.

Passo 4

Calcule o limite \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\frac{|x|}{n+1}. Para qualquer número real fixo x a expressão \dfrac{|x|}{n+1} tende a 0 quando n\to\infty. Logo
L=0.
Pelo Teste da Razão: se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge. Aqui L=0<1 para todo x real arbitrário, portanto a série converge absolutamente para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 5

Da conclusão do passo anterior segue que o raio de convergência é infinito, isto é R=\infty. Consequentemente o intervalo de convergência (no eixo real) é todo \mathbb{R}, isto é (-\infty,\infty).
Observação prática e rápida: é conhecido que a série completa \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!} converge para e^{x} para todo x. A série pedida começa em n=1, por isso é a mesma coisa menos o termo n=0; isso confirma que a soma existe para todo x.

Resposta

Raio de convergência: R=\infty
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty)

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