Encontre o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre a série de potências
Informações dadas:
- É uma série de potências centrada em
. - Os coeficientes da série são
.
As perguntas explícitas são: - Encontrar o raio de convergência.
- Determinar o intervalo de convergência (para
real), isto é, o conjunto de em que a série converge.
Passo 2
O que é o raio de convergência e como vamos achá‑lo (de forma prática):
- Para uma série de potências
o raio de convergência é o número tal que a série converge para e diverge para . - Um método simples e padrão é usar o Teste da Razão (ratio test) aplicado aos termos
. Vou aplicar esse teste ao nosso caso passo a passo.
Passo 3
Aplicando o Teste da Razão aos termos em valor absoluto:
Tomamos o limite quando
:
Pelo Teste da Razão, a série converge absolutamente se esse limite for menor que
, ou seja se
; diverge se o limite for maior que
, isto é se
.
Passo 4
Conclusão do passo anterior sobre o raio:
- A condição
delimita o disco (intervalo) de convergência; portanto o raio de convergência é
Isto é, para
a série converge (na verdade absolutamente), e para
diverge.
Passo 5
Mostrar que para
a convergência é absoluta (útil para provas e entendimento):
- Considere a série dos módulos
. - Uma forma clássica de ver que
converge para é derivar a série geométrica . Derivando ambos os lados em relação a obtém-se
Multiplicando por
dá
válido para
. Tomando
conclui-se que
converge quando
. Logo a série original converge absolutamente para
.
Passo 6
Análise dos extremos
(os pontos
e
):
- Uma condição necessária para que uma série
converja é que quando . Vou usar isso para checar os extremos.
Para
:
Esse termo não tende a
(na verdade seu módulo tende a
), portanto a série diverge.
Para
:
Novamente o termo geral não tende a
(vai para
), então a série diverge.
Passo 7
Conclusão final sobre o intervalo de convergência:
- Dentro do intervalo
(ou seja ) a série converge absolutamente. - Nos pontos de fronteira
e a série diverge.
Portanto o intervalo de convergência (parareal) é o intervalo aberto
Resposta
Raio de convergência:
Intervalo de convergência:
Intervalo de convergência: