Encontre o raio e o intervalo de convergência das seguintes séries de potências:
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} n x^{n}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} n x^{n}.
Informações dadas:
  • É uma série de potências centrada em 0.
  • Os coeficientes da série são a_n = (-1)^{n} n.
    As perguntas explícitas são:
  • Encontrar o raio de convergência.
  • Determinar o intervalo de convergência (para x real), isto é, o conjunto de x em que a série converge.

Passo 2

O que é o raio de convergência e como vamos achá‑lo (de forma prática):
  • Para uma série de potências \sum a_n x^n o raio de convergência R é o número tal que a série converge para |x|<R e diverge para |x|>R.
  • Um método simples e padrão é usar o Teste da Razão (ratio test) aplicado aos termos a_n x^n. Vou aplicar esse teste ao nosso caso passo a passo.

Passo 3

Aplicando o Teste da Razão aos termos em valor absoluto:
\frac{|a_{n+1} x^{n+1}|}{|a_n x^n|} = \frac{|(-1)^{n+1}(n+1)|\,|x|^{n+1}}{|(-1)^n n|\,|x|^n} = \frac{n+1}{n}\,|x|.
Tomamos o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}\,|x| = 1\cdot |x| = |x|.
Pelo Teste da Razão, a série converge absolutamente se esse limite for menor que 1, ou seja se |x|<1; diverge se o limite for maior que 1, isto é se |x|>1.

Passo 4

Conclusão do passo anterior sobre o raio:
  • A condição |x|<1 delimita o disco (intervalo) de convergência; portanto o raio de convergência é
R=1.
Isto é, para |x|<1 a série converge (na verdade absolutamente), e para |x|>1 diverge.

Passo 5

Mostrar que para |x|<1 a convergência é absoluta (útil para provas e entendimento):
  • Considere a série dos módulos \sum_{n=1}^{\infty} |(-1)^n n x^n| = \sum_{n=1}^{\infty} n|x|^n.
  • Uma forma clássica de ver que \sum_{n=1}^{\infty} n r^n converge para |r|<1 é derivar a série geométrica \sum_{n=0}^{\infty} r^n = \dfrac{1}{1-r}. Derivando ambos os lados em relação a r obtém-se
\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n-1} = \frac{1}{(1-r)^2}.
Multiplicando por r
\sum_{n=1}^{\infty} n r^{n} = \frac{r}{(1-r)^2},
válido para |r|<1. Tomando r=|x| conclui-se que \sum n|x|^n converge quando |x|<1. Logo a série original converge absolutamente para |x|<1.

Passo 6

Análise dos extremos |x|=1 (os pontos x=1 e x=-1):
  • Uma condição necessária para que uma série \sum b_n converja é que b_n \to 0 quando n\to\infty. Vou usar isso para checar os extremos.
Para x=1:
\text{o termo geral} = (-1)^n n \cdot 1^n = (-1)^n n.
Esse termo não tende a 0 (na verdade seu módulo tende a +\infty), portanto a série diverge.
Para x=-1:
\text{o termo geral} = (-1)^n n (-1)^n = (-1)^{2n} n = n.
Novamente o termo geral não tende a 0 (vai para +\infty), então a série diverge.

Passo 7

Conclusão final sobre o intervalo de convergência:
  • Dentro do intervalo (-1,1) (ou seja |x|<1) a série converge absolutamente.
  • Nos pontos de fronteira x=1 e x=-1 a série diverge.
    Portanto o intervalo de convergência (para x real) é o intervalo aberto
(-1,1).

Resposta

Raio de convergência: R=1
Intervalo de convergência: (-1,1)

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