Calcule o volume dos sólidos W descritos abaixo:
W é limitado pelas superfícies z=8-x^{2}-y^{2} e z=x^{2}+y^{2}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados: as superfícies são z = 8 - x^{2} - y^{2} e z = x^{2} + y^{2}.
  • Pergunta: calcular o volume do sólido W limitado por essas duas superfícies (isto é, a região entre elas).

Passo 2

Determinar onde as duas superfícies se interceptam (essa curva de interseção vai determinar a projeção do sólido no plano xy).
Igualando as duas superfícies:
8 - x^{2} - y^{2} = x^{2} + y^{2}.
Colocando os termos em evidência:
8 = 2(x^{2}+y^{2}) \quad\Rightarrow\quad x^{2}+y^{2}=4.
Portanto a interseção é o círculo de raio 2 no plano xy. A projeção D do sólido no plano xy é o disco
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 4\}.

Passo 3

Explicar a estratégia geral para calcular o volume (uma “aula rápida” sobre o método usado).
Para um sólido limitado superiormente por \,z=z_{\text{top}}(x,y)\, e inferiormente por \,z=z_{\text{bot}}(x,y)\,, o volume é dado por
V=\iint_{D}\big(z_{\text{top}}(x,y)-z_{\text{bot}}(x,y)\big)\,dA,
onde D é a projeção no plano xy. Aqui:
z_{\text{top}}(x,y)=8-x^{2}-y^{2},\qquad z_{\text{bot}}(x,y)=x^{2}+y^{2},
logo a altura em cada ponto (x,y) é (8-x^{2}-y^{2})-(x^{2}+y^{2})=8-2(x^{2}+y^{2}).
Como D é um disco circular, fica natural usar coordenadas polares — isso simplifica muito a integral.

Passo 4

Breve explicação das coordenadas polares e do elemento de área (por que aparece um r).
Em coordenadas polares usamos
x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad x^{2}+y^{2}=r^{2},
com r\ge 0 e \theta variando. O elemento de área no plano é
dA = r\,dr\,d\theta.
Intuitivamente, um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximada r\,dr\,d\theta (a distância ao polo multiplica a variação angular). Esse fator r é o jacobiano da mudança de variáveis.

Passo 5

Escrever a integral de volume em coordenadas polares e simplificar o integrando.
Usando o fato de que x^{2}+y^{2}=r^{2} e D é o disco 0\le r\le 2,\;0\le\theta\le 2\pi, temos
V=\iint_{D}\big(8-2(x^{2}+y^{2})\big)\,dA =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\big(8-2r^{2}\big)\,r\,dr\,d\theta.
Multiplicando o integrando:
\big(8-2r^{2}\big)r = 8r - 2r^{3}.

Passo 6

Calcular a integral em r. Mostrar passo a passo as primitivas.
Calculemos a integral interna:
\int_{0}^{2}\big(8r-2r^{3}\big)\,dr =\int_{0}^{2}8r\,dr - \int_{0}^{2}2r^{3}\,dr.
As primitivas são
\int 8r\,dr = 4r^{2},\qquad \int 2r^{3}\,dr = \frac{2}{4}r^{4}=\frac{1}{2}r^{4}.
Portanto, avaliando de 0 a 2:
\Big(4r^{2}-\frac{1}{2}r^{4}\Big)\Big|_{0}^{2} = \left(4\cdot 2^{2}-\frac{1}{2}\cdot 2^{4}\right)-0 = \big(4\cdot 4 - \tfrac{1}{2}\cdot 16\big) = (16 - 8)=8.

Passo 7

Integrar em \theta e obter o volume final.
Agora integramos em \theta:
V=\int_{0}^{2\pi} 8\,d\theta = 8\theta\Big|_{0}^{2\pi} = 8\cdot 2\pi = 16\pi.

Passo 8

Resumo e interpretação final (um empurrãozinho motivacional).
O volume do sólido entre a parábola voltada para baixo \,z=8-x^{2}-y^{2}\, e a para cima \,z=x^{2}+y^{2}\, acima do disco de raio 2 é \;16\pi. Boa: o cálculo ficou bem direto graças à simetria circular — é exatamente o tipo de exercício que aparece em prova e que vale a pena dominar com polares!

Resposta

16\pi

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