logo a altura em cada ponto (x,y) é (8-x^{2}-y^{2})-(x^{2}+y^{2})=8-2(x^{2}+y^{2}).
Como D é um disco circular, fica natural usar coordenadas polares — isso simplifica muito a integral.
Passo 4
Breve explicação das coordenadas polares e do elemento de área (por que aparece um r).
com r\ge 0 e \theta variando. O elemento de área no plano é
dA = r\,dr\,d\theta.
Intuitivamente, um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximada r\,dr\,d\theta (a distância ao polo multiplica a variação angular). Esse fator r é o jacobiano da mudança de variáveis.
Passo 5
Escrever a integral de volume em coordenadas polares e simplificar o integrando.
Usando o fato de que x^{2}+y^{2}=r^{2} e D é o disco 0\le r\le 2,\;0\le\theta\le 2\pi, temos
Resumo e interpretação final (um empurrãozinho motivacional).
O volume do sólido entre a parábola voltada para baixo \,z=8-x^{2}-y^{2}\, e a para cima \,z=x^{2}+y^{2}\, acima do disco de raio 2 é \;16\pi. Boa: o cálculo ficou bem direto graças à simetria circular — é exatamente o tipo de exercício que aparece em prova e que vale a pena dominar com polares!