Isso é útil porque temos uma série conhecida da forma \sum_{n=1}^\infty \dfrac{r^n}{n} com r=\dfrac{x}{3}.
Passo 3
Qual método usar para achar o raio? Uma maneira direta e padrão é usar o teste da raiz (ou o teste da razão); aqui o teste da raiz fica bem simples para séries de termo \left(\dfrac{x}{3}\right)^n/n.
Vou explicar o teste da raiz (versão que usamos): seja uma série de termos a_n. Defina
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
Se L<1 a série converge absolutamente.
Se L>1 a série diverge.
Se L=1 o teste é inconclusivo.
No nosso caso, a_n=\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{x}{3}\right)^n. O que significa cada símbolo aqui:
a_n é o n-ésimo termo da série.
\sqrt[n]{|a_n|} é a raiz n-ésima do valor absoluto de a_n.
O limite superior \limsup é usado para cobrir casos em que a sequência das raízes não tem limite simples; aqui teremos limite direto.
Breve interpretação prática: para um série de potências centrada em 0, a condição |x|<R garante convergência absoluta; aqui o fator 1/n só altera o comportamento nos extremos, não o raio.
Passo 5
Sabendo o raio R=3, sabemos que a série converge absolutamente para todo x com |x|<3. Agora falta examinar os pontos finais x=3 e x=-3.
que é a série harmônica. A série harmônica diverge (isso é um fato clássico: os termos \dfrac{1}{n} não tendem a zero rápido o suficiente e a soma cresce sem limite). Portanto em x=3 a série diverge.
Esta é uma série alternada. Vou usar o teste de Leibniz (teste da série alternada) e lembrar suas condições:
Se os termos b_n são positivos, monotonicamente decrescentes e \lim_{n\to\infty} b_n=0, então \sum (-1)^{n} b_n converge.
Aqui podemos tomar b_n=\dfrac{1}{n}. Essas b_n são positivas, decrescem (pois \dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n}) e tendem a 0. Logo a série alternada converge. Portanto em x=-3 a série converge.
Além disso, a convergência em x=-3 não é absoluta: a série dos valores absolutos é \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n}, que diverge. Assim a convergência em x=-3 é somente condicional.
Passo 8
Juntando tudo:
Raio de convergência R=3.
Converge absolutamente para |x|<3.
Em x=3 diverge.
Em x=-3 converge condicionalmente (alternada).
Resposta
Raio de convergência: 3
Intervalo de convergência: [-3,\,3)