Encontre o raio e o intervalo de convergência da série:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 x)^{n}}{n 6^{n}}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Encontrar o raio de convergência da série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 x)^{n}}{n 6^{n}}.
  • Determinar o intervalo (ou seja, o conjunto de x reais) em que a série converge, incluindo o que acontece em cada extremidade do intervalo.
Informações dadas:
  • A série é \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 x)^{n}}{n 6^{n}}.
  • Não há imagens nem outras condições adicionais.

Passo 2

Primeiro simplificar a expressão do termo geral para uma forma mais familiar. Podemos escrever:
\frac{(2x)^n}{n6^n}=\frac{1}{n}\left(\frac{2x}{6}\right)^n=\frac{1}{n}\left(\frac{x}{3}\right)^n.
Portanto a série é equivalente a
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{x}{3}\right)^n.
Isso é útil porque temos uma série conhecida da forma \sum_{n=1}^\infty \dfrac{r^n}{n} com r=\dfrac{x}{3}.

Passo 3

Qual método usar para achar o raio? Uma maneira direta e padrão é usar o teste da raiz (ou o teste da razão); aqui o teste da raiz fica bem simples para séries de termo \left(\dfrac{x}{3}\right)^n/n.
Vou explicar o teste da raiz (versão que usamos): seja uma série de termos a_n. Defina
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
  • Se L<1 a série converge absolutamente.
  • Se L>1 a série diverge.
  • Se L=1 o teste é inconclusivo.
No nosso caso, a_n=\dfrac{1}{n}\left(\dfrac{x}{3}\right)^n. O que significa cada símbolo aqui:
  • a_n é o n-ésimo termo da série.
  • \sqrt[n]{|a_n|} é a raiz n-ésima do valor absoluto de a_n.
  • O limite superior \limsup é usado para cobrir casos em que a sequência das raízes não tem limite simples; aqui teremos limite direto.

Passo 4

Aplicando o teste da raiz ao nosso a_n:
\sqrt[n]{|a_n|}=\sqrt[n]{\frac{1}{n}\left|\frac{x}{3}\right|^n} =\sqrt[n]{\frac{1}{n}}\;\sqrt[n]{\left|\frac{x}{3}\right|^n} =\sqrt[n]{\frac{1}{n}}\;\left|\frac{x}{3}\right|.
Como \displaystyle\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{1}{n}}=1, obtemos
L=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\left|\frac{x}{3}\right|.
Para convergência absoluta precisamos de L<1, isto é
\left|\frac{x}{3}\right|<1 \quad\Longleftrightarrow\quad |x|<3.
Portanto o raio de convergência R é 3.
Breve interpretação prática: para um série de potências centrada em 0, a condição |x|<R garante convergência absoluta; aqui o fator 1/n só altera o comportamento nos extremos, não o raio.

Passo 5

Sabendo o raio R=3, sabemos que a série converge absolutamente para todo x com |x|<3. Agora falta examinar os pontos finais x=3 e x=-3.
Vou testar cada extremidade separadamente.

Passo 6

Caso x=3: então \dfrac{x}{3}=1 e a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left(1\right)^n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n},
que é a série harmônica. A série harmônica diverge (isso é um fato clássico: os termos \dfrac{1}{n} não tendem a zero rápido o suficiente e a soma cresce sem limite). Portanto em x=3 a série diverge.

Passo 7

Caso x=-3: então \dfrac{x}{3}=-1 e a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\left(-1\right)^n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}.
Esta é uma série alternada. Vou usar o teste de Leibniz (teste da série alternada) e lembrar suas condições:
  • Se os termos b_n são positivos, monotonicamente decrescentes e \lim_{n\to\infty} b_n=0, então \sum (-1)^{n} b_n converge.
Aqui podemos tomar b_n=\dfrac{1}{n}. Essas b_n são positivas, decrescem (pois \dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n}) e tendem a 0. Logo a série alternada converge. Portanto em x=-3 a série converge.
Além disso, a convergência em x=-3 não é absoluta: a série dos valores absolutos é \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n}, que diverge. Assim a convergência em x=-3 é somente condicional.

Passo 8

Juntando tudo:
  • Raio de convergência R=3.
  • Converge absolutamente para |x|<3.
  • Em x=3 diverge.
  • Em x=-3 converge condicionalmente (alternada).

Resposta

Raio de convergência: 3
Intervalo de convergência: [-3,\,3)

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