Para decidir convergência, note que o valor absoluto dos termos é \dfrac{1}{n^{2}}. A série \sum \dfrac{1}{n^{2}} é uma série p com p=2>1, logo converge (soma finita). Como a série de valores absolutos converge, a série original converge absolutamente em x=-5. Conclusão: x=-5 pertence ao intervalo de convergência.
Passo 6
Testo x=3. Substituindo x=3 obtemos (x+1)=4 e o termo geral vira
\frac{4^{n}}{n^{2}4^{n}}=\frac{1}{n^{2}}.
A série correspondente é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}},
que, como já dito, é uma série p com p=2>1 e portanto converge. Logo a série converge em x=3, e de novo converge absolutamente nesse extremo.
Passo 7
Juntando tudo: o raio de convergência é R=4; o intervalo aberto dado por |x+1|<4 é (-5,3); ambos os extremos x=-5 e x=3 fazem a série convergir (convergência absoluta). Portanto o intervalo de convergência completo é o intervalo fechado
[-5,\,3].
Resposta
Raio de convergência: 4
Intervalo de convergência: [-5,\,3]