Determine o raio e o intervalo de convergência da série:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+1)^{n}}{n^{2} 4^{n}}

Passo 1

O enunciado fornece a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x+1)^{n}}{n^{2}4^{n}}
e pede duas coisas:
  • determinar o raio de convergência;
  • determinar o intervalo de convergência (ou seja, quais valores de x fazem a série convergir, incluindo o teste dos extremos).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • a série é uma série em potências em torno de -1 (o termo geral envolve (x+1)^n);
  • os coeficientes dependentes de n são c_n=\dfrac{1}{n^{2}4^{n}};
  • precisamos testar também os pontos finais do intervalo que o raio indicar.

Passo 2

Vamos encontrar o raio de convergência usando o teste da razão (é prático aqui). Primeiro escrevo o termo geral da série como
t_n=c_n (x+1)^n,\qquad c_n=\frac{1}{n^{2}4^{n}}.
O teste da razão pede que calculemos
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{t_{n+1}}{t_n}\right|.
Faço a razão explicitamente:
\left|\frac{t_{n+1}}{t_n}\right| =\left|\frac{c_{n+1}(x+1)^{n+1}}{c_n (x+1)^n}\right| =|x+1|\cdot\frac{c_{n+1}}{c_n}.
Agora compute \dfrac{c_{n+1}}{c_n}:
\frac{c_{n+1}}{c_n} =\frac{1/((n+1)^2 4^{\,n+1})}{1/(n^2 4^{\,n})} =\frac{n^2}{(n+1)^2}\cdot\frac{1}{4}.

Passo 3

Tomo o limite quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{(n+1)^2}\cdot\frac{1}{4} =\left(\lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}\right)^2\cdot\frac{1}{4} =1^2\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{4}.
Portanto o limite da razão dos termos é
L=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{t_{n+1}}{t_n}\right| =|x+1|\cdot\frac{1}{4}=\frac{|x+1|}{4}.
O teste da razão diz que a série converge quando L<1, ou seja quando
\frac{|x+1|}{4}<1\quad\Longleftrightarrow\quad |x+1|<4.
Isso nos dá o raio de convergência. Definição: o raio R é o valor tal que a série converge para |x+1|<R. Portanto
R=4.

Passo 4

Transformo a desigualdade |x+1|<4 em intervalo para x:
-4<x+1<4 \quad\Longrightarrow\quad -5<x<3.
Então, com base no raio, sabemos que a série converge absolutamente para todo x em (-5,3). Agora resta testar os extremos x=-5 e x=3.

Passo 5

Testo x=-5. Substituindo x=-5 obtemos (x+1)=-4 e o termo geral vira
\frac{( -4)^{n}}{n^{2}4^{n}}=\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}.
A série correspondente é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}.
Para decidir convergência, note que o valor absoluto dos termos é \dfrac{1}{n^{2}}. A série \sum \dfrac{1}{n^{2}} é uma série p com p=2>1, logo converge (soma finita). Como a série de valores absolutos converge, a série original converge absolutamente em x=-5. Conclusão: x=-5 pertence ao intervalo de convergência.

Passo 6

Testo x=3. Substituindo x=3 obtemos (x+1)=4 e o termo geral vira
\frac{4^{n}}{n^{2}4^{n}}=\frac{1}{n^{2}}.
A série correspondente é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}},
que, como já dito, é uma série p com p=2>1 e portanto converge. Logo a série converge em x=3, e de novo converge absolutamente nesse extremo.

Passo 7

Juntando tudo: o raio de convergência é R=4; o intervalo aberto dado por |x+1|<4 é (-5,3); ambos os extremos x=-5 e x=3 fazem a série convergir (convergência absoluta). Portanto o intervalo de convergência completo é o intervalo fechado
[-5,\,3].

Resposta

Raio de convergência: 4
Intervalo de convergência: [-5,\,3]

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