Calcule o raio e o intervalo de convergência da série de potências:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-5)^{n}}{\sqrt{n+1}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências centrada em 5
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-5)^{n}}{\sqrt{n+1}}.
O que é pedido:
  • Calcular o raio de convergência R.
  • Determinar o intervalo de convergência (ou seja, para quais x a série converge, incluindo/excluindo extremos).
Informações relevantes dados pelo enunciado:
  • O termo geral é \dfrac{(x-5)^{n}}{\sqrt{n+1}}.
  • A série é de potências em (x-5), então o conjunto de convergência será um intervalo centrado em 5 (possivelmente com inclusão/exclusão dos extremos).

Passo 2

Escolha do método: para séries de potências com (x-5)^{n} é natural usar o teste da raiz (root test) ou o teste da razão. O teste da raiz é especialmente simples aqui porque envolve a n-ésima potência diretamente. Vou aplicar o teste da raiz para encontrar o raio de convergência.
Breve lembrança do teste da raiz aplicado a séries de potências:
Se temos uma série \sum a_n (x-5)^n, o teste da raiz considera
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n (x-5)^n|}.
A série converge se L<1 e diverge se L>1. Para uma série de potências isso leva à condição |x-5|<R com R=1/\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.

Passo 3

Aplicando o teste da raiz ao nosso termo com a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}:
\sqrt[n]{\left|\frac{(x-5)^{n}}{\sqrt{n+1}}\right|} =|x-5|\,(n+1)^{-1/(2n)}.
Calcular o limite de (n+1)^{-1/(2n)} quando n\to\infty. Faço isso tomando logaritmo:
\ln\big((n+1)^{-1/(2n)}\big) = -\frac{1}{2n}\ln(n+1).
Como \ln(n+1)=o(n), temos \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n+1)}{n}=0. Logo
\lim_{n\to\infty}\ln\big((n+1)^{-1/(2n)}\big)=0,
portanto
\lim_{n\to\infty}(n+1)^{-1/(2n)}=e^{0}=1.
Assim o limite do n-ésimo radical é
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|\frac{(x-5)^{n}}{\sqrt{n+1}}\right|}=|x-5|.
Pelo teste da raiz, a série converge se |x-5|<1 e diverge se |x-5|>1. Logo o raio de convergência é
R=1.

Passo 4

Com R=1 o conjunto de convergência é do tipo (5-R,\,5+R)=(4,6), possivelmente com inclusão de um ou ambos os extremos x=4 e x=6. Agora testamos os extremos separadamente.

Passo 5

Teste do extremo x=6:
Substituindo x=6 obtemos a série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(6-5)^{n}}{\sqrt{n+1}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}}.
Esta é uma série do tipo \sum 1/(n+1)^{1/2}. Pela comparação com a série-p, sabe-se que a série \sum 1/n^{p} converge somente se p>1. Aqui p=\tfrac{1}{2}\le 1, portanto
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}}
diverge. Conclusão: a série diverge em x=6 (extremo direito NÃO incluído).

Passo 6

Teste do extremo x=4:
Substituindo x=4 obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4-5)^{n}}{\sqrt{n+1}}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}}.
Aplicamos o teste da série alternada (critérios de Leibniz). Precisamos verificar duas coisas para os termos b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}:
  1. b_n é monotonicamente decrescente para n grande (ou para todo n\ge0);
  2. \lim_{n\to\infty} b_n = 0.
Verificações:
  • \lim_{n\to\infty}\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}=0.
  • Como \sqrt{n+1} é crescente em n, sua recíproca 1/\sqrt{n+1} é decrescente. Portanto b_n é decrescente.
Pelo teste de Leibniz, a série alternada com termos decrescentes que tendem a 0 converge. Logo a série converge em x=4.
Para saber se essa convergência é absoluta ou condicional, examinamos a série absoluta em x=4:
\sum_{n=0}^{\infty}\left|\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n+1}}\right|=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}},
que já vimos divergir. Portanto a convergência em x=4 é condicional (converge, mas não absolutamente).

Passo 7

Conclusão final:
  • Raio de convergência: R=1.
  • Intervalo de convergência: inclui o extremo esquerdo x=4 (convergência condicional) e exclui o extremo direito x=6 (diverge). Assim o intervalo é [4,6).

Resposta

R=1
Intervalo de convergência: [4,6)

Exercícios relacionados