Calcule o raio e o intervalo de convergência da série de potências:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-5)^{n}}{\sqrt{n+1}}
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências centrada em 5
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x-5)^{n}}{\sqrt{n+1}}.
O que é pedido:
Calcular o raio de convergência R.
Determinar o intervalo de convergência (ou seja, para quais x a série converge, incluindo/excluindo extremos).
Informações relevantes dados pelo enunciado:
O termo geral é \dfrac{(x-5)^{n}}{\sqrt{n+1}}.
A série é de potências em (x-5), então o conjunto de convergência será um intervalo centrado em 5 (possivelmente com inclusão/exclusão dos extremos).
Passo 2
Escolha do método: para séries de potências com (x-5)^{n} é natural usar o teste da raiz (root test) ou o teste da razão. O teste da raiz é especialmente simples aqui porque envolve a n-ésima potência diretamente. Vou aplicar o teste da raiz para encontrar o raio de convergência.
Breve lembrança do teste da raiz aplicado a séries de potências:
Se temos uma série \sum a_n (x-5)^n, o teste da raiz considera
L=\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n (x-5)^n|}.
A série converge se L<1 e diverge se L>1. Para uma série de potências isso leva à condição |x-5|<R com R=1/\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}.
Passo 3
Aplicando o teste da raiz ao nosso termo com a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}:
Pelo teste da raiz, a série converge se |x-5|<1 e diverge se |x-5|>1. Logo o raio de convergência é
R=1.
Passo 4
Com R=1 o conjunto de convergência é do tipo (5-R,\,5+R)=(4,6), possivelmente com inclusão de um ou ambos os extremos x=4 e x=6. Agora testamos os extremos separadamente.
Passo 5
Teste do extremo x=6:
Substituindo x=6 obtemos a série
Esta é uma série do tipo \sum 1/(n+1)^{1/2}. Pela comparação com a série-p, sabe-se que a série \sum 1/n^{p} converge somente se p>1. Aqui p=\tfrac{1}{2}\le 1, portanto
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}}
diverge. Conclusão: a série diverge em x=6 (extremo direito NÃO incluído).
que já vimos divergir. Portanto a convergência em x=4 é condicional (converge, mas não absolutamente).
Passo 7
Conclusão final:
Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: inclui o extremo esquerdo x=4 (convergência condicional) e exclui o extremo direito x=6 (diverge). Assim o intervalo é [4,6).