Represente a função
em série de Maclaurin. Determine o raio e o intervalo de convergência da série encontrada.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos que representar a função $ f(x) = 2 \cos\left(x^{2}\right) $ como uma série de Maclaurin. Além disso, precisamos descobrir o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos precisar lembrar como é a série de Maclaurin para a função cosseno e entender um pouco sobre séries de potências.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de Maclaurin para $ \cos(x) $. A série de Maclaurin é uma forma de expressar funções como uma soma infinita de termos baseados nas derivadas da função avaliadas em zero. Para o cosseno, a série é dada por:
Isso significa que podemos escrever o cosseno como uma soma infinita onde cada termo envolve potências pares de $ x $ e alterna sinais.
Passo 3
Agora, na nossa função $ f(x) = 2 \cos\left(x^{2}\right) $, temos $ \cos(x^{2}) $ em vez de $ \cos(x) $. Para adaptar a série de Maclaurin que temos para o cosseno, basta substituir $ x $ por $ x^{2} $ na série original. Assim:
Simplificando a potência:
Passo 4
Agora, como nossa função original é $ f(x) = 2 \cos\left(x^{2}\right) $, precisamos multiplicar a série que encontramos por 2:
Então, a série de Maclaurin para $ f(x) $ é:
Passo 5
Agora, vamos determinar o raio e o intervalo de convergência dessa série. Para isso, usamos o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar para quais valores de $ x $ a série converge.
Aplicando o Teste da Razão:
onde $ a_n = \frac{2 (-1)^n x^{4n}}{(2n)!} $.
Calculando:
Tomando o valor absoluto e o limite quando $ n $ tende ao infinito:
Passo 6
Como $ L = 0 $ e $ 0 < 1 $, pelo Teste da Razão, a série converge para todo valor real de $ x $. Isso significa que o raio de convergência é infinito e o intervalo de convergência é todo o conjunto dos números reais.
Resposta
A série de Maclaurin para $ f(x) = 2 \cos\left(x^{2}\right) $ é:
O raio de convergência dessa série é infinito, e o intervalo de convergência é $ (-\infty, +\infty) $.