Encontre uma equação da reta tangente à curva de nível abaixo no ponto dado e as equações paramétricas da reta normal correspondente

Passo 1

Enunciado: Encontrar a equação da reta tangente à curva de nível x^2/4 + y^2/9 = 1 no ponto l(1,tfrac3raiz32r) e as equações paramétricas da reta normal correspondente. O conteúdo envolve derivada implícita e gradiente como vetor normal a curvas de nível.

Passo 2

Para a função F(x,y)=x^2/4 + y^2/9, suas derivadas parciais são Fx=x2 e Fy=2y9. O gradiente nabla F=(Fx,Fy) é normal à curva de nível.
Avaliaremos o gradiente no ponto dado: nabla Fl(1,tfrac3raiz32r)=l(tfrac12,tfrac2,(3raiz3/2)9r)=l(tfrac12,tfrac;3raiz3;9r)=l(tfrac12,tfracraiz33r)

Passo 3

A inclinação da reta tangente a uma curva implícita F(x,y)=1 é dada por dydx=-FxFy. Assim, no ponto,
dydxl|(1,3raiz3/2)=-1/2raiz3/3=-12cdot3raiz3=-raiz32

Passo 4

Escrevendo a equação da reta tangente em forma ponto-inclinação:
y-3raiz32=-raiz32(x-1)

Passo 5

Para a reta normal, usamos como direção o gradiente (1/2,,raiz3/3). Assim, as equações paramétricas, com parâmetro t, são:
x=1+12t,
y=3raiz32+raiz33t

Resposta

A reta tangente é
y-3raiz32=-raiz32(x-1)
As equações paramétricas da reta normal são
x=1+12t,
e
y=3raiz32+raiz33t

Exercícios relacionados