Encontre o raio e o intervalo de convergência das séries abaixo:
h) \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{n-1}}{n}

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{x^{n-1}}{n}.
O conteúdo aqui é análise de séries de potências: vamos reindexar para a forma \sum a_k x^k, usar o teste da razão para achar o raio e depois testar os pontos x=\pm1.

Passo 2

Reindexando com k=n-1 temos n=k+1 e
(-1)^{n-1}\frac{x^{n-1}}{n} =\frac{(-1)^k}{k+1}\,x^k.
Assim a série fica
\sum_{k=0}^{\infty}a_k\,x^k \quad\text{com}\quad a_k=\frac{(-1)^k}{k+1}.

Passo 3

Aplicando o teste da razão, consideramos
\left|\frac{a_{k+1}\,x^{k+1}}{a_k\,x^k}\right| =\bigl|x\bigr|\, \frac{k+1}{k+2} \;\xrightarrow[k\to\infty]{}\; |x|.
Logo a série converge se |x|<1 e diverge se |x|>1. Portanto o raio de convergência é
R=1.

Passo 4

Agora testamos os extremos:
Para x=1, a série vira
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{k+1},
que é convergente por ser série alternada cujo termo em módulo \tfrac1{k+1} é decrescente e tende a zero.
Para x=-1, a série vira
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k(-1)^k}{k+1} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1},
que é a série harmônica deslocada e diverge.

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: (-1,\,1].

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