Encontre o raio e o intervalo de convergência das séries abaixo:
f)
f)
Passo 1
O enunciado dá a série
que é uma série de potências centrada em
. Para facilitar, vamos reindexar definindo
. Assim ela fica
O objetivo é achar o raio de convergência
(usando, por exemplo, o teste da raiz) e depois testar o que acontece em
.
Passo 2
Aplicamos o teste da raiz, que diz que
Para
grande temos
, logo
o que implica
, ou seja
.
Passo 3
Concluímos que a série converge para
e diverge para
. Resta examinar os casos
e
.
Passo 4
Para
a soma vira
e como
, essa série converge (comparação com a série p de parâmetro
).
Para
a soma é
que também converge absolutamente, pois
e já vimos que essa série converge.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.