Encontre o raio e o intervalo de convergência das séries abaixo:
f) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{2+(n-1)^{2}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^{n-1}}{2+(n-1)^{2}}
que é uma série de potências centrada em 0. Para facilitar, vamos reindexar definindo m=n-1. Assim ela fica
\sum_{m=0}^{\infty}a_{m}x^{m} \quad\text{com}\quad a_{m}=\frac{1}{2+m^{2}}.
O objetivo é achar o raio de convergência R (usando, por exemplo, o teste da raiz) e depois testar o que acontece em \lvert x\rvert=R.

Passo 2

Aplicamos o teste da raiz, que diz que
\frac{1}{R}=\limsup_{m\to\infty}\sqrt[m]{\lvert a_{m}\rvert} =\lim_{m\to\infty}\bigl(2+m^{2}\bigr)^{-1/m}.
Para m grande temos \bigl(2+m^{2}\bigr)^{1/m}\to1, logo
\sqrt[m]{a_{m}} =(2+m^{2})^{-1/m}\longrightarrow1,
o que implica \tfrac1R=1, ou seja R=1.

Passo 3

Concluímos que a série converge para \lvert x\rvert<1 e diverge para \lvert x\rvert>1. Resta examinar os casos x=1 e x=-1.

Passo 4

Para x=1 a soma vira
\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{2+m^{2}},
e como \frac1{2+m^{2}}\sim\frac1{m^{2}}, essa série converge (comparação com a série p de parâmetro p=2>1).
Para x=-1 a soma é
\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(-1)^{m}}{2+m^{2}},
que também converge absolutamente, pois
\bigl|(-1)^{m}/(2+m^{2})\bigr|=1/(2+m^{2}) e já vimos que essa série converge.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é \bigl[-1,1\bigr].

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