Utilizando a definição, encontre a série de Maclaurin para f(x), e seu raio de convergência.
b) f(x)=\cos (2 x)

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de f(x)=\cos(2x) usando a definição
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}\,x^n
e também o raio de convergência dessa série. Vamos calcular as derivadas de f, avaliar em zero, montar a soma e depois usar o teste da razão.

Passo 2

Calcular f^{(n)}(0). Como
f(x)=\cos(2x),\quad f'(x)=-2\sin(2x),\quad f''(x)=-4\cos(2x),\quad f'''(x)=8\sin(2x),\quad f''''(x)=16\cos(2x),\dots
vê-se que só as derivadas de ordem par não se anulam em x=0. De fato, para n=2k:
f^{(2k)}(0)=(-1)^k\,2^{2k},
e para n ímpar f^{(n)}(0)=0.

Passo 3

Substituindo na definição da série de Maclaurin, só os termos n=2k aparecem:
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{f^{(2k)}(0)}{(2k)!}\,x^{2k} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k\,2^{2k}}{(2k)!}\,x^{2k} =\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{(2x)^{2k}}{(2k)!}.

Passo 4

Para achar o raio de convergência R aplicamos o teste da razão aos termos
b_k = (-1)^k\frac{(2x)^{2k}}{(2k)!}.
Calculamos
\lim_{k\to\infty}\left|\frac{b_{k+1}}{b_k}\right| =\lim_{k\to\infty}\frac{2^{2}\,|x|^2}{(2k+2)(2k+1)} =0<1
para todo x finito. Logo a série converge para todos os x, ou seja,
R=\infty.

Resposta

f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{(2x)^{2k}}{(2k)!},
Raio de convergência: \infty.

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