Utilizando a definição, encontre a série de Maclaurin para
, e seu raio de convergência.
b)
b)
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin de
usando a definição
e também o raio de convergência dessa série. Vamos calcular as derivadas de
, avaliar em zero, montar a soma e depois usar o teste da razão.
Passo 2
Calcular
. Como
vê-se que só as derivadas de ordem par não se anulam em
. De fato, para
:
e para
ímpar
.
Passo 3
Substituindo na definição da série de Maclaurin, só os termos
aparecem:
Passo 4
Para achar o raio de convergência
aplicamos o teste da razão aos termos
Calculamos
para todo
finito. Logo a série converge para todos os
, ou seja,
Resposta
Raio de convergência:
.